针对演化地下水-地表水问题的混合高阶插值/有限元技术

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：A hybrid higher-order interpolation/finite element technique for evolutionary groundwater-surface water problem

　　

摘要

本文提出了一种高阶插值与有限元相结合的混合方法，用于求解控制岩溶含水层中流动的瞬态混合Stokes-Darcy方程组。在所提出的高阶格式中，时间导数采用二阶分段多项式插值进行逼近，空间导数则采用次数为$d$和$d+1$（其中$d \geq 2$为正整数）的分段多项式的有限元离散化进行逼近。在$L^{\infty}(0, T; L^2)$-范数下建立了所构造方法的一致稳定性及误差估计。分析表明，所开发的计算方法具有无条件稳定性、时间二阶精度以及空间$d+1$阶收敛性。此外，与文献中讨论的该类初边值问题的广泛数值方法相比，所提出的方法具有更快、更高的效率。通过大量算例验证了理论研究的结论。

**引言与预备知识**

耦合表面流动与多孔介质流动及其界面条件问题在应用科学与工程领域中有很多应用，包括：多孔介质中的流体流动[1]、地下流动系统[2]、[3]、工程中的过滤问题[4]等。

过滤过程的宏观特性用非稳态混合Stokes-Darcy模型来描述。这些过程在多孔介质问题中有多种应用，例如：油通过岩石/砂的过滤以及水

**高阶计算方法的构造**

本节开发了一种混合高阶插值技术与有限元方法相结合的方案，用于求解带有初边值条件(5)和(6)以及界面$\Gamma$上的耦合条件的非稳态混合Stokes-Darcy方程(1)–(4)。我们建立了初边值问题(1)–(6)的变分形式，并描述了新混合高阶方法的离散弱形式。

我们考虑Sobolev空间$V_f = \{u \in [H^1(\Omega_f)]^m : u = 0$

**稳定性分析与误差估计**

本节建立所开发计算方法(31)-(32)及(34)在求解初边值问题(1)–(6)时的无条件稳定性和误差估计。

**定理3.1** 无条件稳定性与误差估计

设$(w, p_f) = ((v, \phi), p_f) \in H^4(0, T; V_{d+1}) \times L^2(0, T; L^2_0(\Omega_f))$为带有初边值条件(5)-(6)的瞬态混合Stokes-Darcy问题(1)–(4)的解析解，设$(w_h, p_{f,h}) = ((v_h, \phi_h), p_{f,h}) \in V_{0,h} \times Q_h$为由所开发算法(31)-(32)及(34)提供的近似解。因此有$\|

**数值实验**

本节通过一些数值算例验证所开发计算方法(31)-(32)及(34)在求解初边值问题(1)–(6)时具有无条件稳定性、时间二阶精度以及空间$O(h^{d+1})$阶收敛性（其中$d \in \{3, 2\}$）。讨论了四个涉及实际应用的算例，对应不同的$S_0$和$\eta$值，并使用与$L^{\infty}$范数相关的离散范数（也记作$\bar{\||\cdot\||}_0,\infty$和$\|\mid\cdot\mid\|_0,\infty$）进行度量。

**总结与未来工作**

本文开发了一种混合高阶插值/有限元方法(31)-(32)及(34)，用于求解与非对角对称正定水力导率张量$\mathcal{K}$相关的瞬态混合Stokes-Darcy模型(1)–(6)。在$L^{\infty}(0, T; L^2)$-范数下分析了所构造数值方法的稳定性和误差估计。理论表明，所提算法具有无条件稳定性、时间二阶精度以及

**资金**

不适用。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争财务利益或个人关系。

Eric Ngondiep | Areej A. Bin Sultan | Ibtisam M. Aldawish

沙特阿拉伯利雅得11632, 90950，伊玛目穆罕默德本·沙德伊斯兰大学（IMSIU）理学院数学与统计系