利用神经常微分方程与符号回归揭示冰晶沉积生长规律

《SCIENCE ADVANCES》：Discovering how ice crystals grow using neural ODEs and symbolic regression

　　

沉积冰晶生长（depositional ice growth）强烈影响地球上及火星上含冰云系的演化和寿命，然而其物理机制仍不确定，因为冰晶生长的最早阶段无法被直接观测，且在实验室条件下仅能得到稀疏采样。在此，研究人员利用物理信息机器学习（physics-informed machine learning），从有限观测中学习沉积冰晶生长模型中未知物理过程的函数依赖关系。通过针对生长于悬浮扩散云室（levitation diffusion chamber）中的290颗冰晶的质量增长时间序列进行优化，研究人员识别出一种修正的电容生长模型（modified capacitance growth model），能够更精确地刻画观测到的早期生长阶段。借助符号回归（symbolic regression）获得的函数形式优于现有参数化方案，并能很好地泛化至AIDA气溶胶与云室（AIDA Aerosol and Cloud Chamber）的独立测量数据。这种数据高效的学习框架为沉积冰晶生长提供了改进的表征，并为在其他稀疏观测系统中推断未解析的物理过程提供了途径。

研究背景与意义：卷云（cirrus clouds）是由纯冰晶组成的云，覆盖中纬度和热带对流层上层约三分之一区域，对气候具有直接辐射效应，并控制从对流层进入平流层的水汽量；航空凝结尾卷云也是重要但不确定的人为辐射强迫来源。冰微物理过程速率的不确定性可造成约30 W/m²的辐射强迫不确定性，是CO₂倍增辐射强迫的8倍以上。沉积冰晶生长（depositional ice growth）速率是控制卷云形成和演化的关键微物理过程之一，但早期生长阶段（半径<50 μm）连接新核化粒子与较大晶面晶体，涉及晶面转变和表面附着动力学，无法直接观测且实验室采样稀疏，导致现有模型存在结构性和参数性不确定性。此类不确定性主要源于电容理论对早期生长描述不足，以及不同实验给出的沉积系数（deposition coefficient）相差数量级。为此，研究人员利用物理信息机器学习（physics-informed machine learning）从290条冰晶质量增长时间序列中学习未知物理项，并结合符号回归（symbolic regression）发现闭合表达式；论文发表于《SCIENCE ADVANCES》。

研究人员开展的研究与主要方法：研究数据来自悬浮扩散云室（levitation diffusion chamber），包括290颗冰晶在温度205–240 K、冰面过饱和比1.0–1.8、初始半径6–26 μm条件下恒温恒饱和生长的质量比m/m₀时间序列。关键技术包括：构建强约束与弱约束两种神经常微分方程（Neural ODE, NODE）模型；强约束模型将沉积系数α设为温度和过饱和比的未知函数，弱约束模型直接学习传递系数G相对连续极限球形冰晶理论值G_c的函数依赖；用ODE求解器积分质量增长率方程，同时优化全部时间序列的L2损失；用符号回归（PySR）从训练好的神经网络提取闭合表达式；用含已知α函数（Nelson and Baker, 1996）的合成数据验证方法；用AIDA气溶胶与云室（AIDA Aerosol and Cloud Chamber）IsoCloud活动中的独立卷云实验数据进行最终模型选择。

研究结果：
悬浮扩散云室观测：实验提供了单个冰晶在高度受控环境中的质量比时间序列；晶体的当量球半径通常<40 μm（最大约84 μm）。研究人员将数据重采样至1 Hz并截取至500 s用于模型训练。
学习未知物理的方法：将沉积冰晶生长方程中的未知物理项用神经网络参数化，用NODE同时拟合同一批次的全部实验序列；强约束模型假设未知项仅为过饱和比和温度的沉积系数α，弱约束模型则学习G/G_c随过饱和比、温度和质量的变化。训练后使用符号回归获得帕累托前沿候选表达式。
合成数据验证与模型对比：在合成数据集上，强约束NODE能从质量比时间序列中恢复用于生成数据的Nelson和Baker（1996）α函数，符号回归表达式也贴近真实函数。在实验数据上，弱约束NODE的均方误差（MSE）最低，在500 s内对290次实验中138次拟合最好，优于无表面动力学模型、Nelson和Baker（1996）模型和强约束NODE；强约束NODE无法学到一致的α(Si, T)光滑函数，说明单一沉积系数形式可能过于局限。弱约束NODE学到的G大多在G_c的1.2倍以内，并额外依赖晶体质量m。
所提模型在未见数据上的表现：将训练时未使用的500–1000 s外推区间作为测试，弱约束NODE仍最优，但在更大尺寸时因高估生长而相对变差，提示大颗粒应渐近连续极限。在AIDA云室独立实验中，用分档微物理（bin microphysics）气块模型结合观测冰晶数浓度模拟冰水含量（ice water content, IWC）；符号回归发现的函数式（原文式6）在低温下优于无表面动力学模型和Nelson-Baker模型；示例实验中该模型同时较好预测了冰面过饱和比和IWC。原文指出低温下的残余偏差可能反映系统测量不确定性而非生长模型缺陷。

讨论与结论：该研究展示了NODE与符号回归可直接从多条实验时间序列中学习沉积冰晶生长模型；合成数据验证了方法的可靠性；弱约束模型能更准确再现多数新形成晶体的生长轨迹，表明以往将表面附着动力学参数化为单一沉积系数可能限制模型表达；提出的G函数闭合形式能泛化到更长时间序列和AIDA云室群体晶体观测，为卷云过程参数化改进提供基础，并可作为从稀疏观测中推断未解析物理过程的通用框架。研究结论可翻译为：研究人员证明，利用NODE和符号回归能够直接从多个冰晶生长实验时间序列中学习数学模型；弱约束NODE更准确地重现多数实验时间序列，说明单一沉积系数函数可能过于受限；所提出的G闭合函数更精确地再现观测结果，并泛化到独立AIDA云室数据，为沉积冰晶生长提供了改进表征，也为在其他稀疏观测系统中推断未解决物理过程铺平了道路。