基于射影空间坐标的动力学系统重构方法：保留对称群与微分结构的新型嵌入技术

《Physics》：Symmetry Invariants of Strange Attractors from Jet-Space Embeddings

　　提出了一种从标量时间序列重构动力学系统的方法，该方法用射影空间坐标（即信号及其时间导数）替代延迟坐标。证明了一个在射影扩部下建立李代数同构的定理，该定理确保了关于原系统完整对称群的等变性。与仅提供拓扑等价性的塔肯斯嵌入不同，射影空间重构保留的不仅是吸引子的视觉外观，更是其基本性质：对称群和微分结构。在洛伦兹系统和罗西勒系统上的数值实验表明，射影空间忠实地再现了几何结构、群不变量和关联维数，而塔肯斯嵌入则引入了严重的畸变。一项针对罗西勒系统对称变体的附加实验显示，在射影空间中对重构的导数进行积分可以近乎零误差地恢复原始信号，而在塔肯斯空间中执行相同操作则严重失败。这证实了射影空间保留了系统的微分结构，使其适用于数据驱动的方程辨识，相比之下，在塔肯斯空间中进行此类辨识则固有地存在偏差。该方法无需参数调优，适用于具有任意对称性的系统。