三维边坡地震安全系数快速计算方法研究

《Geomatics, Natural Hazards and Risk》：A study on rapid calculation methods for seismic safety factors of three-dimensional slopes

　　

地震活动是引发边坡失稳与破坏的重要因素。为此，在前期关于三维均质边坡安全系数快速计算方法研究的基础上，本文进一步研究地震荷载作用下三维边坡安全系数的快速计算方法，探究其与无超载平坡顶安全系数计算方法之间的关系，进而推导地震荷载作用下安全系数的快速计算表达式。首先，建立数值边坡模型以模拟地震效应，分析地震荷载作用下边坡接近临界失稳状态时土体参数与几何参数的变化规律；进一步研究地震荷载作用下土体参数的变化规律及其与坡顶无水平超载时土体参数之间的函数关系。在此基础上，结合安全系数的定义，推导出地震荷载作用下安全系数的快速计算公式。最后，采用工程算例验证该安全系数公式的有效性与可行性。

# 三维边坡地震安全系数快速计算方法研究论文解读

## 一、研究背景与问题提出

中国大陆地处两大地震带交汇区域，受板块构造运动影响，青藏高原及其周边地区构造活动强烈，地震频发，加之复杂的地质条件和人类工程活动，地震滑坡灾害往往造成极为严重的损失。在边坡抗震稳定性分析中，拟静力法（quasi-static method）是中国工程实践中最常用的方法之一。该方法将水平与竖向地震力简化为不随时间变化的恒定惯性力，通过牛顿第二定律计算作用于边坡的地震力，概念清晰、计算简便。自Mononobe和Terzaghi将拟静力法引入边坡稳定性分析以来，众多学者对该方法进行了持续深入的理论研究与工程应用。然而，已有研究多集中于二维边坡或特定工况，对于三维均质边坡在地震荷载作用下的安全系数快速计算方法仍缺乏系统研究。随着研究深入，国内外学者对边坡稳定性的关注已逐渐从简单无载坡顶条件转向地震荷载作用下的三维边坡稳定性分析。因此，本文在前期已成功推导出三维均质边坡无超载坡顶安全系数快速计算公式的基础上，进一步研究地震荷载作用下三维边坡安全系数的快速计算方法。

## 二、研究内容与结论概述

研究人员采用与前期研究相同的技术路线，首先在已建立的三维均质边坡数值模型体系中，针对不同坡角各随机选取一个三维均质边坡数值模型，用以模拟边坡在不同地震作用下的响应。当地震系数（seismic coefficient）设置为水平地震系数k_h和竖向地震系数k_v分别取0.1、0.2、0.3共九种组合时，观测边坡达到临界破坏状态下黏聚力（c_z）和内摩擦角（φ_z）的变化规律。研究发现，地震荷载作用下三维均质边坡的临界破坏状态曲线与无超载坡顶条件下的临界破坏状态曲线具有高度相似性，均呈反比例函数形式的变化趋势。在此基础上，研究人员建立了两者之间的函数关系表达式，进而结合安全系数定义，推导出地震荷载作用下三维均质边坡安全系数的快速计算公式F_z。通过三个工程算例的对比验证，该公式计算结果与采用极限平衡分析软件（Spencer法）得到的数值模拟结果具有较高的一致性，最大相对误差为7.09%，表明所推导的快速计算公式具有较高的可靠性和工程应用可行性。

## 三、主要关键技术方法

本研究采用的主要技术方法包括：（1）拟静力法：将水平与竖向地震力简化为恒定惯性力，以无量纲地震系数k_h和k_v表征地震作用强度；（2）极限平衡分析法（limit equilibrium analysis method）：结合摩尔-库仑（Mohr-Coulomb）本构模型，计算不同地震系数组合下边坡达到临界破坏状态（FOS=1）时对应的黏聚力c_z和内摩擦角φ_z；（3）数值建模与曲线拟合：利用极限平衡分析软件建立三维均质边坡数值模型，并通过MATLAB编程对临界破坏状态数据进行拟合，确定函数关系中的未知系数；（4）线性插值法：对于表2中未列出的坡角，采用线性插值公式计算相应的拟合函数系数。研究样本为均质边坡数值模型，坡角α分别为15°、30°、45°、60°和75°，水平地震系数与竖向地震系数各取0.1、0.2、0.3共九种组合。

## 四、研究结果分述

### 4.1 地震作用下三维边坡临界破坏状态曲线的建立

研究人员以tanφ_z为x轴、c_z/γH为y轴建立二维直角坐标系，绘制了不同坡角与不同地震系数组合下三维均质边坡的临界破坏状态曲线。结果显示：边坡受到不同地震荷载作用时，所有数据点相对于坡顶无超载情况均发生整体上移，且水平地震系数k_h越大，曲线上移幅度越明显；当k_h不变时，随着竖向地震系数k_v增大，曲线上移后的尾部趋于向上弯曲。这表明水平地震系数对边坡的影响远大于竖向地震系数。此外，临界破坏状态曲线呈现两阶段变化特征：第一阶段随tanφ增大急剧下降，第二阶段下降趋势趋于平缓，整体符合反比例函数y=m/(x+n)?h的基本形式。

### 4.2 地震荷载作用与无超载条件下土体参数的函数关系

基于上述临界状态曲线的相似性，研究人员假设地震荷载作用下c_z/γH与坡顶无水平超载时c/γH之间存在函数关系，并通过MATLAB拟合确定其具体表达式为：c/γH=(A_z+B_zc_z/γH+C_z(c_z/γH)²+D_zk_h+E_zk_v+U_zk_hk_v+V_zk_hc_z/γH+W_zk_vc_z/γH)。其中A_z、B_z、C_z、D_z、E_z、U_z、V_z、W_z为拟合函数的未知系数，其具体值随坡角变化，可通过表2查取或采用线性插值公式计算。

### 4.3 地震荷载作用下安全系数快速计算公式的推导

研究人员将地震荷载作用与无超载条件下土体参数的函数关系代入无超载条件下的临界破坏状态曲线方程，得到地震荷载作用下三维均质边坡的临界破坏状态曲线。然后，根据安全系数定义，假设实际工程中测得的参数点P_z位于三维均质边坡的临界破坏状态曲线上方，连接原点O与P_z的直线与临界破坏曲线交于点P₀，依据P₀在临界曲线上的坐标关系建立二次方程，最终求解得到地震荷载作用下三维均质边坡安全系数的显式表达式：F_z=[f₃(Btanα/H)tanφ_z+G_zf₂(Btanα/H)]/[2(f₁(Btanα/H)?f₃(Btanα/H)f₂(Btanα/H))]+√([f₃(Btanα/H)tanφ_z?G_zf₂(Btanα/H)]²+4f₁(Btanα/H)G_ztanφ_z)/[2(f₁(Btanα/H)?f₃(Btanα/H)f₂(Btanα/H))]，其中G_z=A_z+B_zc_z/γH+C_z(c_z/γH)²+D_zk_h+E_zk_v+U_zk_hk_v+V_zk_hc_z/γH+W_zk_vc_z/γH。

### 4.4 工程算例验证

研究人员选取三个工程算例对所推导公式进行验证。算例1：α=60°、H=10 m、B/H=1、γ=18 kN/m³、c=12 kPa、φ=20°，k_h=0.1、k_v=0.1时，公式计算得到安全系数F_z=0.711，数值模拟结果为0.763。算例2：某高速公路重点抗震工程路堤，H=15 m、宽度20 m、α=30°、γ=16 kN/m³、c=18 kPa、φ=15°，8度地震（A_h=0.30g、A_v=0.17g）条件下，公式计算得到F_z=0.86，数值模拟结果为0.921，误差为7.09%。算例3：α=45°、H=18 m、坡顶宽度30 m、坡趾宽度30 m，γ=22 kN/m³、c=18 kPa、φ=20°，6度地震（A_h=0.05g、A_v=0）条件下，公式计算得到F_z=0.962，数值模拟结果为0.905，相对误差为5.92%。三个算例结果均表明公式计算值与数值模拟值具有较高的一致性。

## 五、讨论与结论总结

讨论部分指出，地震荷载作用下三维均质边坡的临界破坏状态曲线与无超载坡顶情况具有高度相似性，但水平地震系数对边坡稳定性的影响显著大于竖向地震系数。所推导的快速计算公式仅需已知边坡几何参数（坡高H、坡角α、坡顶宽度B、坡趾长度L）、土体参数（重度γ、黏聚力c、内摩擦角φ）及地震系数（k_h、k_v），即可快速获得安全系数，避免了复杂的三维数值建模与迭代计算。

研究结论为：本文在前期研究基础上，进一步探究了地震荷载作用下边坡土体参数的变化规律及其与坡顶无水平超载条件的函数关系，据此推导出地震荷载作用下三维均质边坡安全系数的快速计算公式。通过工程算例验证，公式计算结果与极限平衡软件数值模拟结果高度吻合，表明该表达式具有较高的可靠性和良好的工程应用可行性。值得注意的是，该快速计算方法仅适用于受地震荷载作用的三维均质边坡，仅考虑地震加速度、边坡几何参数、土体重度、黏聚力和内摩擦角等因素，尚不能直接应用于复杂的实际边坡条件。