《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：A PDE-free solution to generalized density evolution equation via a probability preservation constrained probability flow tube method
编辑推荐：
•开发了一种概率流管方法，用于概率密度演化，无需求解偏微分方程。•高斯概率流管刻画了加权样本子群的局部概率密度演化。•时不变管权重确保了概率密度演化过程中的概率守恒。•闭式代数更新提高了相对于基于方程求解器的计算效率。引言工程结构不可避免地受到多种不确定性来源的影响，包括材料
- •
开发了一种概率流管方法，用于概率密度演化，无需求解偏微分方程。
- •
高斯概率流管刻画了加权样本子群的局部概率密度演化。
- •
时不变管权重确保了概率密度演化过程中的概率守恒。
- •
闭式代数更新提高了相对于基于方程求解器的计算效率。
引言
工程结构不可避免地受到多种不确定性来源的影响，包括材料性能变异、制造缺陷、环境条件波动以及随机外部激励（如地震和风荷载）[1], [2]。这些不确定性通过结构动力学系统传播，从而影响结构的可靠性和安全性。因此，准确表征和预测不确定性的传播对于结构设计、评估和维护至关重要 [3]。
表征概率密度演化的理论基础在于概率守恒原理，该原理指出概率质量沿确定性物理轨迹保持不变 [2], [4], [5]。为了描述这种瞬态演化，发展了经典控制方程，包括 Liouville 方程和 Fokker–Planck–Kolmogorov (FPK) 方程 [6], [7], [8], [9], [10]。然而，这些方法本质上将物理状态演化与高维抛物方程中的概率扩散耦合在一起，导致了众所周知的维度灾难。因此，对于这些方程的直接数值积分对于工程结构来说在计算上是不可行的。对于由分数阶动力学或粘弹性本构行为支配的系统，Wiener 路径积分已被开发作为一种确定随机响应的替代框架 [11], [12]。
为了克服维度障碍，提出了概率密度演化方法（PDEM）[4], [13]，并自那以后成为随机动力学系统中不确定性传播的严格理论框架。PDEM 有效地将经典 FPK 方程相关的维度灾难转化为针对感兴趣的各种响应量的独立一维偏微分方程（PDEs）族。具体而言，基于概率守恒原理，利用广义 F-差异法 [14], [15] 以及更先进的采样策略 [16], [17], [18] 等点选策略，将初始概率空间离散化为一组具有指定概率权重的代表性样本。然后对代表性样本进行确定性时程分析。对于选定的感兴趣物理量，构建相应的广义密度演化方程（GDEEs）并进行数值求解 [2], [19]，并通过所有代表性样本的加权求和获得边际概率密度函数（PDF）[4]。PDEM 已被扩展到二维联合 PDF 的演化 [20]，随后扩展到任意维度的联合 PDF [21]。最近，物理信息学习方面的进展 [22], [23] 激发了在 PDEM 框架内求解 GDEE 的学习基方法。基于残差的深度学习被用来直接从 GDEE 预测概率密度演化，而无需标注数据 [24]。归一化 GDEE 被纳入物理信息框架并结合数据增强用于演化 PDF 重构 [25]。归一化 GDEE 残差的梯度被纳入物理信息学习用于结构可靠性分析 [26]。最近的一项基准测试比较了基于网格、无网格和物理信息神经网络求解器用于 GDEE，并检查了吸收边界条件下的时变可靠性 [27]。
与 PDEM 的逐点演化范式互补，降维概率密度演化方程（DR-PDEE）近年来从基于组的演化角度出发，利用场描述被开发出来 [28]。在获得代表性样本的确定性响应时程后，DR-PDEE 利用数据拟合技术，如单元映射重归一化 [29] 和局部加权散点平滑 [30]，来构建相空间中全局等效的演化系数。然后，可以通过求解二维相空间中的单个 PDE 来确定目标物理量的概率密度演化。在此基础上，DR-PDEE 已被扩展以解决双重随机性 [30]、复杂随机激励 [31], [32], [33] 和分数阶导数元件 [34]。此外，它还促进了首达可靠性分析 [31], [35] 和降维 Chapman–Kolmogorov 方程 [36] 的发展。最近，DR-PDE-Net 将归一化流与多物理信息逆网络集成，以推断时变漂移系数并从噪声数据中重构响应 PDF [37]。
为了在不求解 PDE 的情况下获得 GDEE 的近似解，本文引入了概率流管的新概念，并基于定义为 PDF 的傅里叶变换的特征函数（CF）[38], [39]，开发了概率流管方法（PFTM）。完整的确定性响应时程在整个时间域上进行全局聚类，使得每个概率流管随时间连续演化，同时产生的时不变权重在演化过程中保持概率守恒。然后，这些管的局部参数通过从低频矩匹配导出的闭式公式进行代数更新，瞬态概率密度被重构为加权高斯混合。所提出的方法通过三个非线性动力学系统进行验证。本文其余部分组织如下：第 2 节回顾 GDEE 并推导特征函数演化方程（CFEE）；第 3 节提出所提出的方法；第 4 节提供数值结果；第 5 节总结主要结论。
章节摘要
理论基础
本节建立数学框架。首先简要回顾 GDEE。随后，控制方程通过 CF 在频域中重新表述，导致 CFEE，它构成了所提出的方法的理论基础。
用于概率密度演化分析的概率流管方法
基于推导出的 CFEE 精确解，概率流管方法被开发为提供 GDEE 的近似解，而无需求解 PDEs。首先，在时域和频域中建立了动态高斯混合模型，并突出了使用 CF 的优势。然后，识别了直接频域拟合的局限性，这激发了由概率守恒原理约束的概率流管概念
数值算例
为了验证所提方法的有效性，研究了三个数值算例。具体而言，首先考虑了一个表现出硬化行为且包含随机参数的 Duffing 振子，其中的强非线性产生不规则且不对称的概率分布。随后，分析了受随机白噪声激励的双阱势 Duffing 振子，其主要挑战是捕捉 PDF 的演化
结论
本文开发了一种新颖的概率流管方法，用于随机动力学系统中的瞬态概率密度演化。通过将完整响应时程组织为具有时不变概率权重和时间相关均值和方差的连续管，该方法提供了 GDEE 的近似解，而无需直接求解相关的 PDEs。本工作的主要贡献总结如下：
CRediT 作者贡献声明
张付泰：撰写 – 原稿，方法学，调查，形式分析，概念化。徐军：撰写 – 审阅与编辑，方法学，资金获取，概念化。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的相互竞争的经济利益或个人关系，这些可能会影响本论文报告的工作。
致谢
感谢国家自然科学基金（编号：52278178）和湖南省科技创新计划（编号：2022RC1176）的财政支持。作者们衷心感谢中国同济大学陈建兵教授和德国汉诺威莱布尼茨大学风险与可靠性研究所的吕孟泽博士，感谢他们在本研究期间提供的见解建议和建设性讨论。
张付泰|徐军
