基于缩放中心面缩放边界有限元方法的坝-水库系统动水压力分析

《Soil Dynamics and Earthquake Engineering》：Hydrodynamic pressure analysis of dam–reservoir systems using a scaling center surface based scaled boundary finite element method

　　本摘要列举了本文主要工作要点：- 将基于面的缩放边界元方法（SBFEM）应用于坝–水库体系的水动压力分析。- 针对可压缩水库水体推导了频域控制方程。- 通过哈密顿/黎卡提方程实现远场衰减条件的施加。- 计算结果与经典基准及声固耦合力学分析结果一致。- 水库几何形状会改变坝面处的局部压力梯度。## 引言大型坝体在地震作用下会与水库中的蓄水发生动力相互作用。这种相互作用会在坝体上游面产生水动压力，改变坝–水库系统的等效惯性，并可能改变地震作用的空 间分布和频率成分。在实际工程应用中，水库通常并非理想的棱柱形域。峡谷边坡、不均匀的河谷宽度、弧形坝面、倾斜或起伏的水库底以及局部地形收窄等因素共同构成了具有几何不规则性的三维水体域。这些几何特征可能影响波的传播路径、边界的反射、压力的相位关系、局部压力的放大以及耦合系统的共振特性。以往研究表明，水库几何形状和边界条件会影响拱坝和重力坝的地震响应，尤其是上游坝面水动压力的幅值和分布[[1],[2],[3]]。因此，针对地震作用下坝–水库问题的水动压力分析方法应当考虑水的可压缩性、水库的吸收效应以及具有复杂几何形状的水库域。地震诱发水动压力的研究具有悠久的历史。Westergaard 推导了刚性直立坝在水平地震激励下水动压力的经典解[4]。Zangar 随后提出了水平地震作用下坝体水动压力的工程近似公式[5]。后续研究将水动压力分析拓展至可压缩水库水体、坝–水库相互作用、库底吸收效应以及混凝土坝的有限–无限元方法[[6],[7],[8],[9]]。Chwang 和 Housner 采用动量法研究了倾斜坝面，Chwang 进一步获得了相应理想化问题的精确解[10,11]。Liu 利用势流的解析和数值解研究了刚性坝的水动压力[12]。这些解析和半解析研究仍然非常重要，因为它们提供了物理层面的洞察和基准解。然而，这些方法通常针对简化构型推导，例如直立或均匀倾斜的坝面、等深水库、规则峡谷剖面以及理想化的边界条件。当上游坝面、库底或侧边界出现明显的几何不规则性时，其直接适用性受到限制。为克服上述局限性，数值方法得到了发展。有限元方法可以模拟具有复杂几何形状的近场水库，并能与坝体和地基模型耦合[[6],[7],[8],[9],[12],[13],[14],[15],[16]]。无限元、透射边界、双渐近边界以及子结构技术被引入用于描述半无限水库或地基域[6,13,14,17,18]。边界元方法通过降低流体域的空间维数提供了另一种途径[19,20]。最近，计算流体力学和动态网格技术也被用于研究超出经典解析公式假定范围的水动压力[21]。原则上，这些方法可以处理复杂水库构型。然而，它们往往需要对流体域进行全部或部分体积离散、依赖于问题的截断边界、远场辐射处理、特殊的边界积分核或反复的重新划分网格过程。对于顺流和横流方向均不规则的水库，构建高质量三维流体网格并定义物理一致的远场边界仍然是一个非平凡的建模工作量和数值不确定性来源。缩放边界有限元法（SBFEM）提供了一种半解析的替代方案。该方法仅在环向方向上对边界进行离散，而对径向方向采用解析处理[[22],[23],[24],[25],[26]]。该方法不需要基本解，保留边界上的有限元插值，并且可以通过径向解在无穷远处施加条件，而不是使用传统的人工截断边界[[22],[23],[24],[25],[26],[27],[28],[29]]。这些特点使得 SBFEM 适用于声学波传播和水库水体的水动压力分析。SBFEM 及基于 SBFEM 的开边界方法已被应用于坝–水库相互作用、坝–地基–水库系统以及涉及不规则水库几何形状的水动压力问题[1,17,[30],[31],[32],[33]]。多面体和多边形 SBFEM 公式也提高了复杂坝体模型水动压力计算的几何适应性[32]。此外，基于缩放中心面的缩放边界元方法已被开发出来，通过采用规定的缩放面而非单一缩放中心点，克服了与常规点基缩放描述相关的几何限制[34]。尽管已有上述发展，但常规缩放边界变换通常是从缩放中心点构建的。这种点基构造对星形域或规则划分的子域是有效的[[22],[23],[24],[25],[26]]。然而，实际水库域可能沿坝轴线、峡谷边坡和库底发生显著变化。在这种情况下，单一缩放中心可能限制可接受的几何映射、引起径向线的过度扭曲，或者需要额外的子域划分。这一局限性主要是几何性的，而非理论性的。它并不削弱经典 SBFEM 公式的价值，但它促使为那些无法由点基径向映射充分描述的水库域寻求更灵活的缩放描述。对于地震水动压力分析而言，这一问题具有相关性，因为水库几何形状不仅影响压力幅值，还可能影响频率响应特性和局部压力集中区的位置[[1],[2],[3]]。在本研究中，基于缩放中心面的缩放边界元方法被应用于坝–水库系统的频域水动压力分析。基于现有的缩放中心面概念，通过将上游坝面与缩放中心面通过相应的节点对连接，从而为水库域定义了基于面的缩放边界变换。本工作重点在于非均匀水库几何形状坝–水库系统的水动压力公式、频域求解过程以及该方法 的数值验证。本文的目的并非提出缩放中心面概念本身，而是在保留 SBFEM 边界离散特点和远场处理能力的前提下，构建并评估该概念在水动压力分析中的应用。本文的主要贡献如下。首先，在缩放中心面基于 SBFEM 框架内，针对谐激励下的可压缩水库水体推导了水动压力控制方程，明确考虑了坝–水库界面激励和吸收水库边界。其次，通过引入哈密顿/黎卡提方程组将控制方程进行变换，制定了频域求解过程，并通过稳定不变子空间施加远场衰减条件。第三，引入分段矩阵拟合策略，用于近似径向 Runge–Kutta 积分中的变系数矩阵。第四，通过基准算例对比、三维声固耦合对比、网格收敛性分析以及水库几何敏感性研究对所建立公式进行了验证。本文其余部分组织如下。第 2 节回顾了缩放中心面变换，并在基于缩放中心面的 SBFEM 框架内推导了水动压力控制方程。第 3 节给出了频域求解过程，包括黎卡提变换、远场处理、Runge–Kutta 积分以及矩阵拟合策略。第 4 节通过基准算例、拱坝声固耦合方法对比、网格收敛性分析以及水库几何敏感性研究对所提出的方法进行了验证。第 5 节总结了主要发现和结论。## 章节摘要### 缩放中心面变换及水动压力控制方程的推导本节首先回顾了基于缩放中心面的 SBFEM 中所采用的缩放中心面变换，然后推导了可压缩水库水体的水动压力控制方程。常规 SBFEM 的详细推导可参见文献[26]，而基于缩放面的扩展则遵循文献[34]。### 基于缩放中心面的 SBFEM 水动压力控制方程的求解基于第 2 节推导的水动压力控制方程，本节给出基于缩放中心面 SBFEM 的水动压力公式求解过程。频域控制方程首先被变换为径向坐标下的一阶哈密顿系统。随后引入黎卡提方程用于求解水库域的动力刚度矩阵。所得非线性矩阵微分### 数值算例与讨论本节通过数值算例评估基于缩放中心面 SBFEM 的水动压力公式。首先采用二维重力坝模型和三维拱坝模型验证所提出方法的精度。随后，基于拱坝模型修改水库几何形状，初步研究水库形状对坝面水动压力的影响，并进一步展示### 结论本研究开发了一种基于缩放中心面的缩放边界有限元法（SCS-SBFEM），用于坝–水库系统中可压缩水库水体水动压力的频域分析。通过引入缩放中心面，所提出的公式扩展了 SBFEM 的几何适应性，同时保留了其面向边界的离散特点和径向方向的半解析处理。水动压力控制方程被建立### CRediT 作者贡献声明**Fu Yu：** 写作—审校与编辑，写作—初稿撰写，验证，监督，方法学，数据整理，概念构思。 **Li Kang：** 写作—审校与编辑，验证。 **Lin Gao：** 写作—审校与编辑，方法学，概念构思。 **Hu Zhiqiang：** 概念构思。### 利益冲突声明作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所报告工作的客观性。Fu Yu | Li Kang | Lin Gao | Hu Zhiqiang