基于改进双线性神经网络方法的 (2+1) 维 BLMP 方程浅水波动力学及新精确解

《Ocean Engineering》：Shallow water wave dynamics and novel exact solutions of the (2+1)-dimensional BLMP equation via an improved bilinear neural network method

　　

**物理框架：** 研究控制浅水波传播和不可压缩流体动力学的 (2+1) 维 Boiti–Leon–Manna–Pempinelli（BLMP）方程。

**方法论创新：** 采用新开发的改进双线性神经网络方法（IBNNM），利用单隐藏层和双隐藏层架构及混合复合激活函数。

**解谱：** 推导出一系列丰富的精确闭式解析解，包括局域化亮峰型波、周期性波列、扭折转换和复杂共振模式。

**波控机制：** 通过二维和三维图形分析表明，波形的振幅、宽度、速度和空间范围直接由自由网络参数控制。

**核心创新：** 建立了神经网络函数架构与物理波多样性之间的系统性、新颖的联系，揭示了高阶混合导数如何主导非线性波行为。

**引言**

非线性偏微分方程（NLPDEs）被用于建模科学领域中各种复杂的物理现象，包括非线性波力学、流体动力学、等离子体物理、浅水水动力学和光纤通信。这类方程的固有挑战源于波场的非线性自相互作用与色散展宽之间的相互制约，正是这种平衡产生了物理系统中观测到的局域化、稳定或周期性结构化波形（Sneha Soni 等，2026；Kop?as?z 和 Sa?lam，2026）。因此，获得非线性偏微分方程的精确解析解不仅是一个数学目标，它还能提供具有物理可解释性的基准，说明控制方程中的每一项如何影响波的振幅、相速度、局域化和空间范围。在过去二十年中，为达到该目的提出并精炼了大量强解析工具，包括 Hirota 双线性方法（Anand Soni 等，2026；Mahmood 和 Murad，2025）、广义指数有理函数法（Sharif 和 Eslami，2023）、G′/G 和 1/G′ 展开方法及其统一形式（Islam 等，2023；Ozisik 等，2024）、新辅助方程法（Kumar 等，2021）、改进 Sardar 子方程法（Cinar 等，2022）、新的扩展广义 Kudryashov 方法（Zayed 等，2022）、新 Kudryashov 方法（Kudryashov，2020；Murad 等，2025；Hosseini 等，2021）、多变量广义指数有理积分函数方法（Niwas 等，2024）、广义 Arnous 方法（Farooq 等，2025）、Jacobi 椭圆函数展开（Kop?as?z 和 Sa?lam，2026）、tanh-coth 方法（Zulfiqar 等，2026）、广义投影 Riccati 方程法（Mahmood，2026）以及双线性神经网络方法（Dutta 等，2026；Mohan 和 Kumar，2024）。近期研究进一步推动了非线性海洋和流体系统中局域化波传播的符号方法。这些技术的一个持久局限在于，解往往被编目却缺乏对每种波形如何从底层非线性和色散机制中产生的充分物理诠释。

(2+1) 维 Boiti–Leon–Manna–Pempinelli（BLMP）方程属于多维可积模型族，描述二维空间和时间中不可压缩流场速度场的演化。该方程最初在 KdV 层次结构的 Backlund 变换背景下推导而出，已被证明是研究浅水和分层流体介质中非线性波传播、共振孤子相互作用和团簇型解的重要模型（Boiti 等，1986；Luo，2011）。控制方程为：

$$\Omega_{xxxy} + \Omega_{yt} - 3\Omega_{xx}\Omega_{y} - 3\Omega_{x}\Omega_{xy} = 0$$

其中 $\Omega = \Omega(x, y, t)$ 表示流场的标量流函数或速度势，$x$ 和 $y$ 为两个水平空间坐标，$t$ 为时间，下标表示偏微分。$\Omega_{xxxy}$ 项是四阶混合空间色散，描述波结构的衍射和展宽；$\Omega_{yt}$ 描述横向波组分的时间演化。非线性项 $3\Omega_{xx}\Omega_{y}$ 和 $3\Omega_{x}\Omega_{xy}$ 描述波场的自相互作用，可产生振幅陡化、能量集中和局域结构的形成。色散与非线性贡献之间的这种竞争决定了波是传播、局域化还是进入共振相互作用区域。

近期多项研究利用不同的解析框架评估了 BLMP 方程的精确解。Liu 等（2021）应用 Hirota 双线性方法获得了多孤子和呼吸子解，表明孤子之间的共振相互作用产生特征性的网状空间模式。Zhao 和 He（2022）使用 Painlevé 分析和 Darboux 变换方法创建了 rogue-wave 型解，表明混合导数 $\Omega_{xxxy}$ 在波场瞬态振幅放大中起决定性作用。少数研究应用扩展 tanh 和 G′/G 方法获得周期性和扭折解，但主要局限于解类别的检测，未深入探究自由参数如何影响波形几何（Alquran 和 Jaradat，2020；Tariq 等，2023）。最近，基于神经网络的双线性算法被引入作为系统生成具有不同架构的函数试探函数的方法，创造出经典 Ansatz 方法无法捕捉的新解族（Dutta 等，2026；Mohan 和 Kumar，2024；Zhang 等，2021）。然而，将该方法应用于具有复合多层激活架构的 BLMP 方程，以及对解的类型对底层流体力学行为的影响进行物理导向的探究，尚未得到深入研究。虽然 Zhang 和 Bilige（2019）以及 Zhang 等（2026）引入的双线性神经网络方法（BNNM）已被应用于多个可积方程，但本工作在三个方向上扩展了该方法，超越了仅仅代入新方程的范畴。首先，我们在单隐藏层和双隐藏层架构中均引入复合多层激活函数，结合多项式、指数、三角、双曲和混合形式，而此前的 IBNNM 研究主要在每个隐藏节点上采用单一激活类型。其次，本文使用的双隐藏层架构（3-2-2-1 和 3-2-3-1）产生嵌套函数结构，生成单层构造无法恢复的解族。第三，不同于以往仅报告解而不提供机制解释的研究，我们提供了系统性的物理分析，将每种网络架构选择与 BLMP 流体模型中的特定波现象联系起来。因此，根本创新不仅在于获得的新解，更在于证明激活函数架构的选择直接控制控制方程所允许的波行为的定性类别。本研究填补了文献中的这一空白，利用改进的双线性神经网络方法（IBNNM）应用于 (2+1) 维 BLMP 方程。通过对数依赖变量替换将控制方程转化为其 Hirota 双线性形式。然后我们通过对辅助函数 $f$ 应用具有不同单隐藏层和双隐藏层架构的神经网络型试探函数来建模。所使用的激活函数包括多项式、指数、三角、双曲和混合复合形状，提供了九种独特的精确解族，波形结构从代数局域化轮廓到周期性波列和共振相互作用模式不等。代入双线性方程和原始 NLPDE 以确认每个解，并通过图形方式检验波形物理行为。

本工作的创新点可归纳如下：**系统性关联关系**，第一。神经网络架构的选择与由此产生的精确波解的定性特征之间，以及这与 BLMP 中波形选择的关系。第二，每种解所赋予的物理价值。解族基于流体力学机制描述，并将自由网络参数与波的鲜明属性联系起来，包括其振幅、宽度、传播速度和空间局域化。第三，该方法延伸至双隐藏层架构和复合激活函数，产生比单层构造更高结构复杂性的解结构。这些贡献加深了我们对 BLMP 方程中非线性波行为的理解，并提供了一些分析基准，有利于未来的数值工作以及不可压缩流体力学和浅水波理论实验。

论文结构如下：第2节提供 BLMP 模型的物理描述和诠释。第3节生成 Hirota 双线性形式。第4节描述改进的双线性神经网络方法。第5节：单隐藏层神经网络的精确解；第6节：双隐藏层神经网络的精确解，分别提供基于单层和双层网络的精确解。第7节提供相关验证和物理沟通的图形表示。第8节为结论。

**各节摘要**

**模型的物理背景与诠释**

描述流体介质中标量波场 $\Omega(x, y, t)$ 非线性色散演化的控制模型。在流体力学语境下，$\Omega$ 可解释为流函数，其空间导数产生流体流速的分量，其中 $\Omega_x$ 和 $\Omega_y$ 分别对应横向往和纵向往速度分量。独立变量 $x$ 和 $y$ 表示流动域的两个水平空间维度，$t$ 表示时间。

**控制方程的双线性形式**

本节将控制方程转化为双线性形式。假设方程(1)允许相应的依赖变量变换：

$$\Omega(x, y, t) = -2(\ln f)_x$$

其中 $f = f(x, y, t)$ 为实值辅助函数。该变换将非线性问题转化为关于 $f$ 的等价条件，可利用 Hirota 双线性导数算子加以表述。

Hirota 双线性导数定义为：

$$D_x^m D_y^n D_t^r f \cdot g = \left(\frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x'}\right)^m \left(\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y'}\right)^n \left(\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial}{\partial t'}\right)^r f(x,y,t) g(x',y',t') \bigg|_{x'=x, y'=y, t'=t}$$

**改进双线性神经网络方法**

辅助函数 $f$ 由改进双线性神经网络方法（IBNNM）构造，使用神经网络型试探函数的实验设计，其结构指定如下。精确结果的功能形式如下。输入变量为 (2+1) 维方程的 $(x, y, t)$。对于具有 $N$ 个节点的简单单隐藏层网络，试探函数表示为：

$$f = \sum_{i=1}^{N} w_{i,f} F_i(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_N) + b_f$$

其中 $w_{i,f}$ 为输出层权重，$b_f$ 为……

**单隐藏层神经网络的精确解**

本节列出了由单隐藏层架构生成的七种独特精确解。这些案例代表"3-2-1"、"3-3-1"和"3-4-1"网络结构，分别表示输入变量数、隐藏节点数和输出节点数。本节简要涵盖了由改变激活函数组合产生的66种不同函数案例中的部分（无重复）。

**双隐藏层神经网络的精确解**

引入双隐藏层架构以生成比单层构造可获得的结构复杂度更高的解形式。在该框架下，第一隐藏层将输入变量转换为中间波量，第二隐藏层对这些中间输出应用复合激活函数，产生能够表示多个波组分非线性叠加的嵌套函数结构。

**解的确认**

本文提供的九种精确解通过直接代入双线性形式(5)和原始控制方程(1)得到确认。对所有解 $\Omega_i$，余项 $R_i = \Omega_{i,xxxy} + \Omega_{i,yt} - 3\Omega_{i,xx}\Omega_{i,y} - 3\Omega_{i,x}\Omega_{i,xy}$ 均使用 Maple 进行符号计算，并确认在所有情况下 $R_i \equiv 0$。这确认了报告的波形不仅仅是图形模式，而是 BLMP 方程直接精确的解析响应。验证使用了各参数集中使用的……

**结论**

在本工作中，我们利用具有复合激活函数的改进双线性神经网络方法（IBNNM）推导了 (2+1) 维 Boiti–Leon–Manna–Pempinelli（BLMP）方程的精确解析波解，该方程是控制不可压缩流体波传播的非线性色散模型。首先将控制方程通过对数变量替换 $\Omega = -2(\ln f)_x$ 转化为其 Hirota 双线性形式，随后提供了辅助函数 $f$ 的……

**CRediT 作者贡献声明**

Salim S. Mahmood：撰写——原稿撰写、软件、方法论、调查研究。

Muhammad Amin S. Murad：方法论、形式分析、概念构思。

Ahmed H. Arnous：撰写——审阅与编辑、验证。

**资金支持**

作者未接受本研究的外部资金支持。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

Salim S. Mahmood | Muhammad Amin S. Murad | Ahmed H. Arnous