潜李-泊松神经网络（LLPNNs）：通过可观测量数据和潜在动力学发现李-泊松系统的运动

《Neural Networks》：Latent Lie-Poisson Neural Networks (LLPNNs): Discovering the motion of Lie-Poisson systems through observable data and latent dynamics

　　

摘要 结构保持神经网络对于从数据中长期预测哈密顿系统至关重要。力学和控制论中的许多重要哈密顿系统允许通过对称约减简化为李 - 泊松系统，包括刚体、水下航行器、流体、等离子体以及最优控制问题。学习此类系统的一个基本挑战在于，它们的动力学演化在动量变量中，而这些变量通常是不可观测的，而可用数据仅由可观测数量（如构型和速度）组成。在最优化控制应用中，情况进一步复杂化，因为潜在变量包含不可观测的共态（拉格朗日乘子），且约化后的哈密顿量可能是退化的，这导致相应的拉格朗日量不存在，并使编码器 - 解码器方法不适用。我们引入了潜在李 - 泊松神经网络（LLPNNs），这是一种结构保持框架，可直接从可观测数据中学习李 - 泊松动力学。所提出的方法利用了三种几何要素：(i) 在主动变量上学习哈密顿解码器或伪拉格朗日编码器，(ii) 通过源于李 - 泊松对称约减的通用诺特定理不变量构建潜在轨迹，以及 (iii) 通过李 - 泊松流结合基于马格努斯的李群更新来重建可观测和潜在动力学。所得方法保留了潜在的几何结构，并且适用于正则和退化哈密顿系统。我们在三个代表性示例上演示了该方法：SO(3) 上的广义刚体、SE(3) 上的基尔霍夫水下航行器以及 SE(2)N 上交互车辆的最优控制问题。数值实验表明，该方法具有出色的长期预测精度，对噪声具有强鲁棒性，并且仅使用适度的数据集和轻量级神经网络架构就能表现出具有竞争力的性能。

章节摘要 哈密顿系统的物理信息学习
关于学习一般动力系统的先前工作
数据驱动建模方法的目标是直接从观测中近似控制动力学。物理信息神经网络（PINNs）将微分方程、初始条件和边界条件纳入训练损失，并使用自动微分来评估相应的残差（Cuomo, Di Cola, Giampaolo, Rozza, Raissi, & Piccialli, Karniadakis, Kevrekidis, Lu, Perdikaris, Wang, Yang, 2021）。

李 - 泊松系统简介
为了开发我们的框架，我们借鉴了李 - 泊松系统的一般性质。在此，我们提供一个简要总结；有关完整描述，请参见附录 B，以及 Holm (2011); Marsden and Ratiu (2013a) 的详细阐述。
李 - 泊松系统是广义泊松系统的一个特殊类别。它们自然产生于关于李群作用的对称约减，其中产生的泊松括号继承其结构自底层的李代数。
一个一般

数学背景
在这种第一种方法中，我们基于诺特定理制定了学习哈密顿函数 h(μ) 的方法。该过程的主要优势在于它直接在动量 μ 的动力空间内运行。因为我们只学习解码器 h(μ)，所以永远不需要推导相应的编码器 ?(ξ)，从而绕过了考虑拉格朗日表述是否存在的需要。
我们首先识别退化方向，这些方向产生恒定速度。这些退化的

真值数据生成
为了生成物理上忠实的长期参考轨迹，同时不引入数值耗散或人工流形漂移，我们采用了一种为一般李群 G 及其对偶李代数 ??*（例如 SE(3)、SO(3) 或乘积群如 SE(2)N）制定的结构保持几何积分器。真值动力学通过两个耦合阶段进行积分：针对体动量 ??∈??* 的辛隐式中点更新，随后是二阶马格努斯展开至

局限性及计算考量
计算效率
所提出的 LLPNN 框架通过使用紧凑的神经网络表示实现了高样本和参数效率。在实验中，每个哈密顿或伪拉格朗日网络由三个宽度为 32 的隐藏层组成，每个网络约有 2 × 10^3 个可训练参数，加上少量用于二次热身初始化的额外参数。
LLPNN 特有的额外成本是重建

结论与未来工作
在本文中，我们提出了一种物理信息几何学习框架，旨在直接从可观测数据中推断李 - 泊松哈密顿动力学，而不需要测量潜在动量变量。核心范式依赖于系统具有由哈密顿量产生的潜在李 - 泊松动力学的结构假设。至关重要的是，我们的框架明确容纳了退化哈密顿量，后者缺乏对偶拉格朗日表述或标准

生成式人工智能及人工智能辅助技术声明
在本工作准备期间，作者使用了 Gemini Pro 和 ChatGPT 辅助代码开发、提高代码可读性以及进行稿件的语言编辑。作者审阅并编辑了所有生成的材料，并验证了数学、科学和技术内容的准确性。作者对本出版物的内容承担全部责任。

数据可用性声明
本研究中提出的李 - 泊松神经网络（LLPNN）架构的源代码、模拟脚本和数据集生成例程可在 https://github.com/vputkaradze/LLPNNs 公开获取。所有基准数据均可使用提供的代码库进行复现。

CRediT 作者贡献声明
瓦赫坦格·普特卡拉杰：形式分析，概念构思。

利益冲突声明
作者声明，他没有任何已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文报道的工作。

致谢
作者感谢 C. Eldred, F. Gay-Balmaz, A. Gruber, A. Sinclair, I. Tezaur, M. Zehnder 和 D. V. Zenkov 博士富有成效且启发性强的讨论。作者衷心感谢阿拉巴马大学和信息办公室提供的高性能计算资源和支持，这些资源促成了这些研究成果。本工作部分得到了阿拉巴马大学谢尔比基金会的资助。

瓦赫坦格·普特卡拉杰