VC-fPINNs：一种用于求解时间分数阶微分方程的变分-因果分数阶物理信息神经网络框架

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：VC-fPINNs: A Variational-Causal Fractional Physics-informed Neural Networks Framework for Solving Time-Fractional Differential Equations

　　

# 变分-因果分数阶物理信息神经网络（VC-fPINNs）求解分数阶偏微分方程

**摘要** 分数阶偏微分方程（FPDEs）被广泛用于建模复杂现象，如波传播、扩散-反应动力学、随机输运和生物信号传输。然而，由于分数阶算子的固有非局部性，开发准确且稳定的FPDE数值方法仍然是一个重大挑战。本文提出了一种变分-因果分数阶物理信息神经网络（VC-fPINNs）框架，将变分原理与因果训练相结合。将单隐藏层神经网络嵌入分数阶变分公式中构建残差泛函。时间方向采用L1差分格式离散化分数阶导数同时保持因果性，空间方向采用高斯积分精确评估残差。为减少由多步时间耦合引起的不稳定性，引入了一种具有动态损失权重的因果训练策略。该策略赋予较早时间步更大的权重。我们在多个代表性FPDE上评估了所提方法，包括扩散方程、Burgers方程、Fisher方程、Fokker-Planck方程和Huxley方程。实验表明，与标准分数阶物理信息神经网络（fPINNs）和其他基准神经求解器相比，VC-fPINNs具有竞争力的精度和更好的可解释性。

**引言** 近年来，FPDEs在物理、工程、生物学和金融学等领域的复杂系统建模中被广泛应用，引起了显著的研究兴趣[1]。由于其描述能力，分数阶方程能够描绘用经典整数阶模型难以表示的复杂动力学行为。然而，这也对数值求解方法提出了更高要求。为应对这些挑战，传统的FPDE数值方法已取得了较为系统的发展。在这些传统方法中，有限差分法[1]、[2]实现简单，适合规则网格问题。小波方法[3]擅长处理具有突出局部特征的解。基于变分原理的有限元方法[4]、[5]和谱方法[6]、[7]分别适用于复杂几何形状和高精度光滑解。Galerkin方法[8]、[9]可以与其他方法结合使用。Laplace变换方法[10]在长期积分问题中表现优异。每种方法在理论、稳定性和效率方面各有优势，可根据问题复杂度、边界条件和精度要求进行灵活选择。

随着深度学习技术的快速发展，研究人员开始探索神经网络方法在FPDE求解中的应用，为复杂系统的建模和模拟提供了新的数值工具[11]、[12]、[13]。当前基于神经网络求解FPDE的研究通常依赖于使用有限差分格式离散化分数阶导数。例如，fPINNs[14]、FCDNN[15]、deepFDEnet[16]和PMNN[17]等方法通常使用L1、L?1?2或L?2?1??等经典离散化方案[18]来近似Caputo分数阶导数。尽管这些方法成功地将传统数值离散化技术与神经网络的函数逼近能力相结合，但其精度受差分方法截断误差的限制[19]、[20]。

为克服上述局限，研究人员提出了各种改进策略。一个方向是改进分数阶算子的近似。Hou等人[21]利用Hermite插值构造了Caputo导数的高阶近似方案，并分析了其收敛性和近似误差。Zhang等人[22]提出了谱-fPINNs，其中基于Jacobi多项式的全局谱离散化用于近似分数阶导数。该策略减少了辅助点的使用并提高了计算效率。Gao等人[23]为时间分数阶微分方程和Volterra积分-微分方程开发了基于核函数的物理信息神经网络（PINNs）。通过使用指数和近似，将非局部分数阶问题转化为整数阶微分方程组，从而可以更直接地使用自动微分。

另一个方向是改进神经网络架构或解的表示方式。Qu等人[24]、[25]基于正弦和余弦函数开发了具有良好周期性的神经网络，为多个时间分数阶问题实现了高精度数值解。其他研究[26]、[27]引入Legendre多项式作为神经网络构建的基函数，通过训练其系数来拟合全局解。Long等人[28]从序列建模的角度出发，设计了一种编码器-解码器GRU网络，有效地处理具有强时间依赖性的问题。Anjuman等人[29]为非线性时间分数阶反应-平流-扩散方程开发了Fibonacci多项式神经网络。Kumar和Vats[30]为FPDEs引入了无网格Kolmogorov-Arnold网络（KAN）框架。他们的方法用基于B样条插值和Chebyshev多项式的KAN变体替代标准多层感知器，显示出比标准前馈网络更好的精度和效率。Zuo和Yang[31]通过变分迭代法分析了ResNet对分数阶微分方程的近似性质。Mohammadi等人[32]通过在fPINNs框架中使用径向基函数神经网络提出了RBF-fPINNs。他们的方法使用单隐藏层，以径向基函数作为激活函数，并在复杂不规则区域域上的分数阶移动-不移动问题上进行了测试。Ali等人[33]通过在输入表示中使用Hermite小波多项式展开，为FPDEs引入了Hermite小波神经网络。Zhang等人[34]提出了分数阶基函数多步神经网络方法，其中近似解通过分数幂级数类型基函数和多步展开策略构建。

一些研究进一步关注训练效率和算子级泛化能力。Taheri等人[35]提出了基于Legendre神经块（LNB）的算子矩阵方法。该方法通过对Caputo算子进行非均匀离散化并用矩阵-向量乘法替代自动微分，显著提高了训练效率。Sivalingam等人[36]提出了结合Legendre多项式和运算矩阵的极限学习机方法，用于分数阶常微分方程和偏微分方程。Isah等人[37]进一步为Caputo型FPDEs发展了基于Legendre集成方法的极限学习机方法，通过集成学习和正则化闭式训练提高了稳定性和计算效率。Lu等人[38]为多术语时间分数阶混合扩散-波动方程提出了物理信息DeepONet框架。该方法将算子学习与Caputo导数的L2近似相结合，能够处理固定阶、可变阶、含噪声和逆问题。Wang等人[39]进一步发展了广义蒙特卡洛PINN方法，消除了传统方法对分数阶导数积分近似的依赖。该方法适用于更广义的分数阶导数定义，并通过概率密度驱动的节点分布策略实现高效计算。

尽管上述神经网络方法提高了FPDE求解器的精度、效率、灵活性和适用性，但其中许多方法仍然是以残差为驱动的。它们的训练损失通常由逐点残差或离散化残差构建。这些公式虽然有效，但神经网络优化与方程底层数学结构之间的关系并不总是明确的。这可能会使训练过程缺乏透明度，尤其是对于复杂的时间分数阶系统。此外，由于非局部Caputo导数，时间分数阶动力学具有天然的因果依赖关系。后期时间层的残差依赖于先前时间层的解的历史信息。然而，这种依赖性通常没有被充分纳入损失设计中。这可能会影响可解释性和训练稳定性。

为解决这些问题，本文介绍了VC-fPINNs，一种基于变分原理和因果训练的新型神经网络框架。在该方法中，神经网络被视为试探函数并嵌入分数阶变分公式中。残差被投影到一组测试函数上，因此每个残差项都具有明确的弱形式解释。训练过程随后对应于最小化一个变分残差泛函。为进一步改善训练稳定性，我们引入了一种反映时间分数阶导数因果结构的动态损失权重机制。在训练过程中，模型在开始时更多地关注较早的时间步，并逐渐将注意力转移到较晚的时间步。该方法尊重分数阶系统中天然的时间依赖性，并有助于提高整个时间域上的精度。

总体而言，所提出的方法将深度学习与经典数学理论相结合，揭示了模型结构与物理定律之间的清晰联系。它从变分角度分析优化行为，确保每个计算步骤都具有明确的数学和物理含义。这显著增强了可解释性，并为开发高精度数值求解器提供了坚实基础。我们在多个FPDE上验证了所提方法的有效性。数值结果表明，VC-fPINNs在大多数测试案例中提高了相对于标准fPINNs的精度，并在测试的神经求解器中达到了具有竞争力的性能。

本文其余部分组织如下：第2节回顾PINNs求解PDE和fPINNs求解FPDE的方法。第3节详细阐述了所提出的VC-fPINNs模型。第4节通过多个FPDE的数值实验验证了所提方法的有效性。最后，第5节总结了本文的主要贡献并讨论了未来研究的可能方向。

**片段** Caputo分数阶导数与L1近似

我们首先介绍本文所使用的Caputo分数阶导数和L1近似。

**定义1** Caputo分数阶导数[40]

给定函数f(t)，t∈(a,b)，阶数α>0的Caputo导数定义为：

$$CaD_t^{\alpha}f(t) = aI_t^{-(m-\alpha)}[f^{(m)}(t)] = \frac{1}{\Gamma(m-\alpha)}\int_a^t(t-s)^{m-\alpha-1}f^{(m)}(s)ds$$

其中Γ(·)是Euler Gamma函数，m是满足m?1<α≤m的正整数。><α<1的情况。在这种情况下，公式(1)变为： $$cad_t^{\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_a^t(t-s)^{-\alpha}f'(s)ds$$ **定义2**><α<1时的l1近似[41]><α<1，设n为正整数……

**方法**

在本节中，我们详细介绍所提出的vc-fpinns框架，该框架基于变分原理和因果训练。变分原理是求解极值问题的有效工具，其核心思想是将复杂的微分方程问题转化为变分泛函的极值问题。传统的galerkin方法正是基于这一思想：通过构建目标泛函并最小化其值，得到微分方程的数值解……

**结果**

在本节中，我们评估了所提出模型在两个线性方程和四个非线性方程上的性能。所有实验均在pytorch中实现，并在配备8gb内存的apple m2芯片上完成。除非另有说明，我们使用具有20个神经元的单隐藏层全连接神经网络，激活函数为tanh。神经网络参数采用xavier初始化方法。

在我们的实现中，我们使用了pytorch的l-bfgs优化器，学习率……

**结论** 本文开发了vc-fpinns，一种用于高精度、高可解释性地求解时间分数阶偏微分方程的创新神经网络框架。该方法将神经网络与分数阶变分公式相结合，在空间方向使用高斯求积，在时间方向使用l1格式，以确保精度和因果性。引入了动态损失权重策略以提高训练稳定性。

数值实验表明，vc-fpinns在多个基准测试中达到了具有竞争力的精度……

**代码可用性** vc-fpinns的代表性实现可在https://github.com/doumiao1226/vc-fpinn获取。针对特定案例的完整代码可应合理要求由通讯作者提供。

**credit作者贡献声明**

马志颖：初稿撰写、验证、软件、方法学、概念设计。

彭亚鑫：审阅与编辑、监督指导。

李莹：审阅与编辑、方法学、基金获取。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

马志颖 | 彭亚鑫 | 李莹

上海大学理学院数学系，中国上海，邮编200444 **方法** 在本节中，我们详细介绍所提出的vc-fpinns框架，该框架基于变分原理和因果训练。变分原理是求解极值问题的有效工具，其核心思想是将复杂的微分方程问题转化为变分泛函的极值问题。传统的galerkin方法正是基于这一思想：通过构建目标泛函并最小化其值，得到微分方程的数值解…… **结果** 在本节中，我们评估了所提出模型在两个线性方程和四个非线性方程上的性能。所有实验均在pytorch中实现，并在配备8gb内存的apple m2芯片上完成。除非另有说明，我们使用具有20个神经元的单隐藏层全连接神经网络，激活函数为tanh。神经网络参数采用xavier初始化方法。 在我们的实现中，我们使用了pytorch的l-bfgs优化器，学习率…… **结论** 本文开发了vc-fpinns，一种用于高精度、高可解释性地求解时间分数阶偏微分方程的创新神经网络框架。该方法将神经网络与分数阶变分公式相结合，在空间方向使用高斯求积，在时间方向使用l1格式，以确保精度和因果性。引入了动态损失权重策略以提高训练稳定性。 数值实验表明，vc-fpinns在多个基准测试中达到了具有竞争力的精度…… **代码可用性** vc-fpinns的代表性实现可在https: github.com doumiao1226 vc-fpinn获取。针对特定案例的完整代码可应合理要求由通讯作者提供。 **credit作者贡献声明** 马志颖：初稿撰写、验证、软件、方法学、概念设计。 彭亚鑫：审阅与编辑、监督指导。 李莹：审阅与编辑、方法学、基金获取。 **利益冲突声明** 作者声明他们不存在已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。 马志颖 | 彭亚鑫 | 李莹>
**方法**

在本节中，我们详细介绍所提出的vc-fpinns框架，该框架基于变分原理和因果训练。变分原理是求解极值问题的有效工具，其核心思想是将复杂的微分方程问题转化为变分泛函的极值问题。传统的galerkin方法正是基于这一思想：通过构建目标泛函并最小化其值，得到微分方程的数值解……

**结果**

在本节中，我们评估了所提出模型在两个线性方程和四个非线性方程上的性能。所有实验均在pytorch中实现，并在配备8gb内存的apple m2芯片上完成。除非另有说明，我们使用具有20个神经元的单隐藏层全连接神经网络，激活函数为tanh。神经网络参数采用xavier初始化方法。

在我们的实现中，我们使用了pytorch的l-bfgs优化器，学习率……

**结论** 本文开发了vc-fpinns，一种用于高精度、高可解释性地求解时间分数阶偏微分方程的创新神经网络框架。该方法将神经网络与分数阶变分公式相结合，在空间方向使用高斯求积，在时间方向使用l1格式，以确保精度和因果性。引入了动态损失权重策略以提高训练稳定性。

数值实验表明，vc-fpinns在多个基准测试中达到了具有竞争力的精度……

**代码可用性** vc-fpinns的代表性实现可在https://github.com/doumiao1226/vc-fpinn获取。针对特定案例的完整代码可应合理要求由通讯作者提供。

**credit作者贡献声明**

马志颖：初稿撰写、验证、软件、方法学、概念设计。

彭亚鑫：审阅与编辑、监督指导。

李莹：审阅与编辑、方法学、基金获取。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

马志颖 | 彭亚鑫 | 李莹

上海大学理学院数学系，中国上海，邮编200444>