复杂网络在节点动力学未知条件下的有限时间同步：基于双网络的数据驱动控制方法

《European Journal of Control》：Finite-Time Synchronization of Complex Networks with Unknown Node Dynamics: A Dual-Network Data-Driven Control Approach

　　

# 摘要

本文针对复杂网络的有限时间同步控制问题，提出了一种数据驱动的有限时间同步控制方法。当节点动力学未知或难以精确建模时，传统控制方法往往无法实现快速且精确的同步。为解决这一问题，本文将数据驱动控制与有限时间控制理论相结合，构建了一个完整的框架。具体而言，设计了由评价网络（Critic Network）和动作网络（Actor Network）组成的双网络结构，以实现性能函数和控制策略的数据驱动近似。采用Lyapunov方法严格证明了同步误差在有限时间内收敛。仿真结果表明，所提方法能够在模型未知的条件下有效实现驱动-响应网络的快速同步。

# 引言

复杂网络广泛存在于自然界和人类社会中。例如激光网络中的集群同步传输（Lü等，2017）、复杂网络的结构特征分析（Costa等，2007）、受扰复杂网络的固定时间同步（Su，2026）以及耦合网络的集群同步（Jiang等，2017）。同步作为复杂网络中最具代表性的集体动态行为之一，指的是网络中所有节点从不同初始状态出发，通过内部耦合或外部控制最终达到相同状态的过程。因此，它长期以来一直是控制理论和网络科学领域的关注焦点。

已开发出多种同步复杂网络的策略。自适应控制因其能够在线调整控制器参数以应对系统不确定性而被广泛采用（Cao等，2023；Wang等，2023；Tao，2003；Yanarates和Zhou，2022）。间歇控制通过周期性施加控制动作在实现同步的同时节省控制能耗（Ding等，2020；Gawthrop等，2011；Zhou等，2022）。近年来，数据驱动控制方法凭借其仅利用输入-输出数据而无需精确模型的优势，已成为处理未知动态系统的重要工具（Baggio等，2021；Wang等，2024；Moreau等，2024；Yue和Che，2022）。同时，最优控制理论为在给定性能指标下寻求最优控制律提供了系统性框架（Lewis等，2012；Todorov，2006；Song等，2023）。

在众多控制方法中，有限时间控制因其能保证系统状态在有限时间内精确收敛到平衡点而受到显著关注，具有收敛速度快和抗干扰能力强等显著优势。它特别适合对实时性能和高动态过程要求严格的工程场景。在（Lü等，2022）中，基于滑模控制技术设计了自适应参数观测器和激光网络控制器以实现有限时间同步。在（Ye等，2025）中，针对输出耦合复杂动态网络提出了有限时间输出脉冲同步控制方法。在（Wang等，2023）中，将数据驱动思想引入有限时间控制，为非线性系统设计了一种事件触发输出反馈控制器。在（Liu和Ma，2024）中，利用具有有限时间收敛性的评论网络求解具有输入约束的非线性系统最优控制问题。在（Lü和Zhao，2023）中，基于耦合技术研究了量子信号的有限时间同步传输。在（Zhang和Han，2021）中，采用单向耦合方法解决不确定复杂网络间的有限时间同步问题。此外，对于具有惯性项和时滞的神经网络，（Zhang和Cao，2018）利用积分不等式方法建立了有限时间同步判据。尽管上述方法（Lü等，2022；Ye等，2025；Wang等，2023；Liu和Ma，2024；Lü和Zhao，2023；Zhang和Han，2021；Zhang和Cao，2018）在各自的应用场景中取得了良好效果，但其控制器设计和Lyapunov稳定性分析通常依赖于对节点动力学方程、耦合矩阵和网络拓扑的精确知识。近年来，（Mo等，2026）使用事件触发机制研究了切换非线性时滞系统的同步问题，该方法通信效率高，但这种基于模型的方法既不提供有限时间收敛保证，也不直接适用于节点动力学完全未知的大规模网络。同时，综述文献（Zhao等，2022）系统指出，模型依赖性仍然是限制有限时间同步策略在实际复杂网络中应用的核心瓶颈。例如，（Wang等，2022）研究了可恢复攻击下多状态耦合时滞网络的同步问题，并建立了有向和无向拓扑下的同步判据，但控制器设计仍需要耦合矩阵和节点动力学的先验知识。在（Zhao等，2023）中，针对多权重耦合神经网络提出了无抖振的有限时间同步控制器，有效避免了符号函数引起的高频振荡，但控制律的推导同样严格依赖于系统模型参数。这些基于模型的方法在实际应用时（如节点动力学完全未知、网络规模较大或拓扑时变等场景）常常面临建模成本高、参数调优困难甚至系统不稳定等困难。

对于节点动力学未知的场景，数据驱动同步控制在近年来取得了显著进展。在（Hu等，2021）中，提出了一种事件触发的数据驱动投影同步方案，利用神经网络估计未知动力学并有效节省通信资源，但该方法未考虑收敛时间约束，且同步类型为投影同步。在（Li等，2023）中，针对离散时间线性多智能体系统设计了一种全分布式事件触发数据驱动一致性协议，但该方法只能实现渐近收敛。在（Song等，2019）中，针对完全未知的离散时间非线性系统，通过神经网络辨识器和迭代自适应动态规划实现了有限时间近似最优轨迹跟踪，但该方法聚焦于单系统跟踪，尚未扩展到大规模驱动-响应网络。在（Chen等，2023）中，研究了基于输出反馈强化学习的分布式数据驱动鲁棒最优输出同步，但未提供有限时间收敛保证。在（Liu和Wang，2022）中，利用数据驱动故障检测方法解决了传感器故障下异构多智能体系统的输出同步问题，同样缺乏有限时间收敛分析。在（Liu等，2024）中，进一步考虑了切换拓扑和外部扰动下的H∞输出一致性问题，但未给出明确的有限时间收敛条件。

从上述分析可以看出，现有大多数数据驱动同步研究侧重于渐近或指数收敛，在设计中未将有限时间收敛作为核心性能指标。虽然传统有限时间同步方法已得到充分发展，但通常依赖精确的节点动力学模型，难以直接应用于模型未知场景。特别是在网络规模超过100个节点且节点动力学异构且完全未知的情况下，现有数据驱动方法（Hu等，2021；Li等，2023；Song等，2019；Chen等，2023；Liu和Wang，2022；Liu等，2024）无法提供有限时间收敛保证，而传统有限时间方法（Lü等，2022；Ye等，2025；Wang等，2023；Liu和Ma，2024；Lü和Zhao，2023；Zhang和Han，2021；Zhang和Cao，2018）和基于模型的方法（Zhao等，2022；Wang等，2022；Zhao等，2023）在无模型条件下无法直接应用。这一空白构成了本文的直接动机：设计一种不依赖任何节点动力学模型的控制方法，使大规模驱动-响应复杂网络能够在有限时间内实现同步，同时保持优化控制性能的能力。解决该问题的理论挑战在于：未知非线性动力学使传统的基于Lyapunov函数构建控制器的方法失效，无法直接验证导数的负定性。同时，有限时间收敛的严格数学条件通常涉及Lipschitz常数的显式下界或系统非线性的动态边界，在模型未知时无法预先获取，导致传统有限时间控制律中增益系数的合理整定变得困难。

为应对上述挑战，本文提出了一种数据驱动的有限时间同步控制方法。其核心贡献和创新体现在以下方面：

1) 将大规模驱动-响应复杂网络的有限时间同步问题等价转化为无穷时域最优调节问题。通过构建增广误差系统并引入二次性能函数，为后续数据驱动求解奠定了理论基础，使得有限时间收敛要求在长期性能优化框架内得到统一处理。

2) 设计了由评价网络和动作网络组成的双神经网络结构。评价网络在线近似理论最优性能函数，动作网络直接学习生成有限时间控制信号。通过基于梯度的协同更新规则，两个网络在不依赖任何节点动力学模型的情况下实现了对最优有限时间控制律的数据驱动近似。

3) 利用Lyapunov方法证明了闭环系统中所有信号一致最终有界，且同步误差在有限时间内收敛到零。收敛时间的上界由控制参数显式给出，便于根据工程需求进行调整。

本文余下部分组织如下：第2节给出驱动-响应复杂网络的数学模型和有限时间同步的预备知识。第3节构建性能函数，推导最优控制策略，并给出有限时间同步的理论条件。第4节详细阐述双网络数据驱动有限时间同步控制方案及其稳定性分析。第5节通过对包含100个节点的异构复杂网络的仿真验证所提方法的有效性、鲁棒性和实时性能。第6节总结全文并展望未来的研究方向。

# 预备知识与模型描述

我们考察一个由N个节点组成的复杂网络。驱动网络的动态方程表示为：

$$\dot{x}_i(t) = f_i(x_i(t)) + c\sum_{j=1}^{N} a_{ij}\Gamma x_j(t), \quad i = 1, 2, \ldots, N$$

其中 $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ 表示节点 $i$ 的状态向量。节点动力学由未知的连续非线性函数 $f_i(\cdot): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ 定义。$c > 0$ 是耦合强度，$\Gamma$ 是内部耦合矩阵。$A = [a_{ij}] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是表示网络拓扑的外部矩阵。若节点 $i$ 和节点 $j$ 相连（$i \neq j$），则 $a_{ij} > 0$；否则 $a_{ij} = 0$；对于 $i = j$，$a_{ii} = -\sum_{j=1, j\neq i}^{N} a_{ij}$。

# 有限时间控制

定义性能函数如下：

$$V_i(\eta_i) = \min_{u_i} \int_{t+T}^{t} r_i\{\eta_i(\tau), u_i(\eta_i(\tau))\} d\tau$$

其中 $r_i(\eta_i, u_i) = \eta_i^T P_i \eta_i + u_i^T Q_i u_i$，且 $P_i$ 和 $Q_i$ 均为正定矩阵。

对(15)关于 $t$ 求导，可得：

$$\nabla_{V_i^\eta} \cdot (\Delta h_i(\eta_i, x_i) + c\sum_{j=1}^{N} a_{ij}\Gamma \eta_j(t) + u_i(t)) + r_i(\eta_i, u_i) = 0$$

其中 $\nabla_{V_i^\eta} = \partial V_i / \partial \eta_i$。

基于(15)和(16)，定义Hamilton函数为：

$$H(\eta_i, u_i, \nabla_{V_i^\eta}) = \nabla_{V_i^\eta} \cdot (\Delta h_i(\eta_i, x_i) + c\sum_{j=1}^{N} a_{ij}\Gamma \eta_j(t) + u_i(t)) + r_i(\eta_i, u_i)$$

基于Bellman最优性原理（Hu等，2021），最优性能

# 数据驱动有限时间设计

之前提出的控制方案受到一个普遍实际约束的阻碍——精确的节点动力学未知或难以获取。为此，本文引入了一种数据驱动有限时间控制方案。如图1所示，该方案采用双网络架构，包括一个评论网络和一个演员网络。前者负责近似价值函数 $V_i(\eta_i)$，后者学习生成控制策略 $u_i(\eta_i)$。

# 仿真分析

为验证所提数据驱动方法的有效性，我们采用传统的基于模型的固定参数有限时间控制策略作为基准。该方法的控制律遵循公式(9)的形式，其他所有条件与本文方法保持一致。通过比较相同条件下的同步误差演化、调节时间、稳态精度和控制能耗，客观展示所提数据驱动策略的优势。

# 结论

本文聚焦于复杂动态网络的有限时间同步问题，提出了一种相应的数据驱动控制方法。通过将数据驱动控制策略与有限时间理论相结合，构建了"控制器设计—误差系统构建—性能调节转化"的完整框架，有效解决了传统控制方法在模型未知或难以精确建模时面临的同步控制问题。

# CRediT作者贡献声明

孙海义：写作—审阅与编辑，监督，资金获取。王鹏飞：写作—原稿撰写，可视化，概念化。王金宝：调查研究。

孙海义 | 王鹏飞 | 王金宝