非线性气动弹性系统辨识的多层级数据驱动贝叶斯方法

《Journal of Sound and Vibration》：A robust multi-level data-driven Bayesian approach for nonlinear aeroelastic system identification

　　

本研究提出了一种稳健的多层级数据驱动贝叶斯方法，用于非线性气动弹性系统的随机模型辨识。该方法构建了一个量化数据驱动模型中认知不确定性（epistemic uncertainty）的框架，并提出了两种用于多层级贝叶斯模型层级收敛的新方法。与传统的单层级方法相比，所提出的方法显著减少了非线性气动弹性辨识所需的训练数据量。

**论文解读：多层级数据驱动贝叶斯框架用于非线性气动弹性系统随机辨识**

**1. 研究背景与问题**

航空航天领域为实现净零排放目标，广泛采用轻质材料和电推进系统，但这类结构在大几何变形和非光滑边界条件下呈现显著非线性，产生分岔响应、极限环振荡（Limit Cycle Oscillations, LCO）等复杂动力学行为。亚临界LCO可在低于线性颤振速度时发生，严重威胁系统安全。传统非线性气动弹性系统的分岔分析计算成本极高，尤其在高保真模型中。此外，基于物理的数学模型需通过实验数据校准，但传统确定性参数估计方法（如最小二乘法、Levenberg-Marquardt算法）在复杂非线性系统中对噪声敏感且计算昂贵。贝叶斯模型更新（Bayesian Model Updating, BMU）虽能融合先验知识并提供概率化参数估计，但在非线性气动弹性应用中的计算开销仍是重大挑战。以往研究中提出的数据驱动贝叶斯框架虽已结合Kriging代理模型与BMU，但代理模型与贝叶斯推断之间的交互仍有限，且仅考虑了实验数据的偶然不确定性（aleatory uncertainty），忽略了数据驱动模型本身的认知不确定性（epistemic uncertainty）。为此，本研究旨在构建一种多层级自适应数据驱动贝叶斯框架，通过层级化参数空间细化与代理模型逐步精细化，降低高保真模拟次数，同时采用广义概率盒（probability box, p-box）方法量化多态不确定性（polymorphic uncertainty），提升随机模型辨识的鲁棒性与效率。

**2. 研究内容与结论**

研究人员提出了三种数据驱动贝叶斯模型更新方法：单层级数据驱动BMU（SDB）、多层级数据驱动BMU（MDB）和多态多层级数据驱动BMU（PMDB）。SDB作为参考方法，在整个设计空间构建单一代理模型；MDB通过用户预设层级数线性递减似然宽度参数；PMDB则将Kriging代理模型预测标准差直接作为似然宽度参数，自适应地在各层级量化认知不确定性。以某非线性气动弹性翼段为实验对象，采用控制基延续（Control-Based Continuation, CBC）获取两种配置下的LCO实验数据。高保真模型由谐波平衡法（HBM）与基于Koopman的稳定性分析构成，用于生成训练数据。结果表明，与单层级方法相比，MDB和PMDB分别减少了74%和76%的训练数据量（配置1），且最终代理模型精度分别提升3.1%和2.9%；两种多层级方法的参数估计与单层级结果偏差不超过2%，且后验不确定性更低。PMDB在所有方法中所需训练数据最少、参数估计置信度最高，并自动满足层级收敛条件。概率稳定性分析显示，多层级方法消除了单层级方法中出现的虚假不稳定区间，与CBC实验数据更为一致。敏感性研究表明，PMDB的似然宽度参数选择比MDB更稳妥，能在有效缩减设计空间的同时避免排除真实解。额外鲁棒性测试显示，框架对先验分布、数据舍弃规则和初始似然宽度不敏感，但代理模型收敛阈值是影响推断精度的关键参数。尽管多层级方法显著降低了计算成本并减小了认知不确定性，但部分实验数据点仍落在概率置信带之外，说明数学物理模型可能仍需修正。

**3. 关键技术与方法**

研究人员采用以下主要技术方法：①多层级贝叶斯模型更新，以逐层级后验分布作为下一层级先验，逐步收缩参数空间；②Kriging代理模型，基于Matérn协方差函数构建多保真度数据驱动模型，以替代高保真HBM模拟；③TMCMC采样算法，用于从复杂后验分布中高效抽样并计算证据；④广义概率盒（p-box）方法，结合Kriging预测标准差与蒙特卡洛抽样，量化参数偶然不确定性和代理模型认知不确定性；⑤谐波平衡法（HBM）结合交替频率-时间过程求解非线性稳态周期响应；⑥基于Koopman算子的Hill方法评估LCO稳定性。实验数据来自NACA-0015翼型颤振试验台，通过CBC方法获得稳定与不稳定LCO分支数据，共两种配置（配置1含8个实验点，配置2含11个实验点）。不确定性参数为俯仰自由度中的二次与三次非线性刚度系数K_α2和K_α3。

**4. 研究结果**

**4.1 单层级更新（配置1）**
SDB方法采用分段代理模型覆盖整个设计空间，精度收敛于96.7%，参数估计均值K_α2=508.6 N/rad2，K_α3=2549.9 N/rad3，但后验分布呈细长形状，参数间存在相关性。引入认知不确定性后，95%置信区域平均扩大0.44 m/s（增加53%），表明数据驱动模型不确定性不可忽略。稳定性分析发现在0.036–0.046 m振幅区间出现稳定性概率降至0.75的异常区域，与CBC数据矛盾，归因于稳定性训练数据不足。

**4.2 多层级更新（配置1）**
MDB方法（3个层级）训练数据从1200次减至309次，精度提升至99.8%；PMDB方法训练数据减至290次，精度99.6%，参数COV最低。两种方法均在第二层收敛到单峰后验，且层级间训练数据可部分复用（PMDB保留30个旧数据点）。层级1中认知不确定性导致置信带比纯偶然不确定带宽达300%，但随层级提高显著收窄。最终层级中，MDB和PMDB的置信带宽度分别比纯偶然界限增加18.2%和6.8%，远低于单层级的53%。稳定性概率在转向点后保持为1，消除了SDB中的虚假不稳定区。

**4.3 配置2结果**
对于配置2，PMDB训练数据进一步降至254次，比MDB少3.5%，比SDB少79%；最终代理模型精度比SDB高1.2%，比MDB高0.5%。参数估计与MDB偏差在2%以内。SDB在低振幅区出现错误的稳定性预测，而两种多层级方法均与实验一致。敏感性分析表明，在两级参数空间中，PMDB的似然宽度估计比MDB更稳健，既能捕获单层级解，又能实现更大程度的设计空间缩减（配置1第二层缩减70%，MDB仅23%）。

**4.4 鲁棒性参数研究**
与静态自适应代理基线对比，多层级策略本身显著改善后验集中度，而非仅依赖自适应细化。初始似然宽度σ_p主要影响后验不确定性而非均值，框架对该参数稳健。代理模型收敛阈值a是关键参数：从0.5%放宽至5%使训练数据从1200降至87，但精度从96.7%降至54.3%，后验分布显著变宽，参数估计偏移。数据舍弃阈值（1σ至3σ）对后验统计量影响可忽略，仅轻微改变训练样本数。先验分布（原始均匀、平移均匀、正态）的敏感性测试显示，后验均值差异小于2.2%，标准偏差几乎不变，表明框架对先验形状和位置稳健。

**5. 讨论与结论**

讨论部分指出，多层级方法在配置1中减少74%–76%训练数据和计算时间，同时提升代理模型精度3%左右；参数估计与单层级方法偏差不超过2%，但后验置信度更高。PMDB方法始终以最少训练数据获得最高预测置信度，且自动收敛判定减少了用户输入。认知不确定性对多层级方法影响远小于单层级（配置2中单层级稳定性边界增宽40%，多层级仅增宽7%），说明层级细化有效降低了代理模型不确定性。敏感性分析证实PMDB的宽度参数估计更可靠，能避免设计空间过度收缩或遗漏真实解。鲁棒性研究表明框架对多种算法参数不敏感，但代理模型收敛阈值需谨慎设定。研究结论：本文首次通过p-box将数据驱动模型认知不确定性纳入多层级BMU框架，显著降低高保真模拟需求（最多减少79%训练数据），同时提升模型精度。PMDB方法为最优方案，在保证参数估计统计一致性的前提下，比MDB少用最多6%训练数据，且无需用户预设层级数。然而，部分实验数据点仍落在置信带外，提示数学物理模型或需进一步修正。未来工作将扩展到高维系统、多峰后验分布和更复杂的非线性相互作用，并发展更严格的似然宽度自适应数学表述。