DN-EM：一种基于主数的载荷等效方法，用于预测弹塑性板的变形过程

《International Journal of Impact Engineering》：DN-EM: A Dominant Number-Based Load Equivalent Method for Predicting the Deformation Process of Elastic-Plastic Plates

　　

**摘要**

对于承受复杂脉冲载荷的弹塑性薄板，材料与几何非线性耦合作用导致其变形历史复杂多变，并呈现多阶段材料响应特征。不同于依赖预先假定变形阶段（弹性或刚塑性）的分析模型，主导数（DN）方法能够自然处理这种非线性耦合。然而，现有的主导数方法仅适用于简单脉冲（如矩形脉冲），且只能预测特征挠度（最大值或终值）；现有的载荷等效方法也仅适用于刚塑性结构。

基于弹塑性板的主导数，我们提出了DN-EM方法——一种面向复杂脉冲下薄方板的全新载荷等效方法，该方法以当前挠度相等和自洽性为准则。在每个时间步，DN-EM将复杂脉冲转换为等效矩形脉冲（E-RTP），并直接查询预建的主导数数据集（阶跃加载工况）以获取当前挠度值。对于各种脉冲类型，DN-EM能够捕捉从初始时刻到首个峰值的中心挠度全过程，并确定后续振动阶段中塑性应变能与弹性应变能之比以及终值挠度与峰值挠度之比。大量算例研究（包括实际爆炸场景）表明，DN-EM适用于纯弹性、弹塑性和刚塑性模型，并考虑了应变硬化和应变率效应。

本研究将主导数从特征值预测工具转变为基于物理机制、解析明确的框架，用于快速评估复杂脉冲下弹塑性板的动力响应。该方法可作为抗爆评估的潜在理论工具。

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**引言**

爆炸、碰撞等极端场景严重威胁人类生命财产安全，可能导致结构失效并引发次生灾害。因此，研究基本结构构件（如梁和板）在爆炸动力脉冲载荷作用下的动力响应具有重要意义。例如，针对板在均布压力作用下的动力响应，研究者通过实验、理论和数值方法已取得大量成果。其中，理论方法能够揭示结构变形的内在机理，是最为重要的研究手段之一。

刚性完全塑性（R-PP）材料的分析模型最为成熟和完善。R-PP板的变形可分为小挠度（弯曲主导）和有限挠度（弯-膜耦合）两个阶段。对于弯曲主导情形，根据是否考虑行进的塑性铰，分析方法可分为模态法[1]和瞬态分析[2]。对于弯-膜耦合情形，Yu等人[3]提出的膜力因子法（MFM）通过采用膜力增强系数，在简洁性与精确性之间取得了平衡。饱和分析（SA）[4]合理解释了长持续载荷后期因膜力作用不再产生额外塑性变形的现象。随后，将MFM与SA相结合，得到了各种脉冲形状下结构的完整解[[5], [6], [7], [8]]，并进一步引入了应变率效应[9]。能量法是分析有限挠度的另一种手段，Yuan等人[10]利用能量法建立了R-PP板在复杂爆炸载荷下的控制方程并获得数值解。

在弹性材料的分析模型中，经典板理论[11]适用于小变形，而考虑弯-膜耦合的Von Karman方程[[12], [13], [14]]适用于有限挠度问题。尽管这些方程的解析求解仍然困难，但其理论框架已较为完善。

然而，理论模型通常基于简化的变形模式和材料模型（如R-PP或纯弹性）。当材料非线性和几何非线性共存时，便出现了瓶颈。弹塑性结构的分析方法通常依赖于对R-PP模型进行局部修正，例如通过系数拟合修改饱和公式[15]，或将弹塑性偏差作为R-PP解的补偿项[16,17]。

为了克服分析方法在处理复杂非线性时的局限性，量纲分析成为一种强有力的补充手段。在结构冲击问题中，关键物理量通过Buckingham Π定理进行无量纲化[18]，然后通过结合物理机制获得主导数（DN）。

对于R-PP结构，Johnson[19]和Zhao[20]分别基于速度$\rho v^2/Y$和几何特征$\rho v^2 a^2/(Yh^2)$提出了损伤数。对于弹性结构，也分别提出了对应的损伤数$\rho v^2/E$[21,22]和载荷数$pa^4/(Eh^4)$[11]。对于弹脆板，还提出了主导数$p^2 E a^2/(\sigma_c^3 h^2)$[23]。

对于弹塑性结构，Symonds[24]定义了事后无量纲能量比$R$；Hu等人[16,17]为梁定义了无量纲刚度$\sqrt{Eh^2/(Ya^2)}$，为板定义了$\sqrt{Eh^2/(Ya^2(1-\nu))}$。最近，学者们将量纲分析理论与能量守恒物理机制相结合，开发了新型主导数方法，提出了一系列综合反映几何、材料和载荷耦合作用的主导数。Huang等人[25]为压力载荷下的弹塑性方板提出了载荷强度$p^2 E a^2/(Y^3 h^2)$，为冲击载荷提出了$\rho v^2 E/Y^2$；Xie等人[26,27]为弹塑性梁和矩形板提供了主导数，随后将应变率和应变硬化效应纳入主导数框架[28]。这些主导数已被证明能够控制响应特征（如能量比、挠度比以及中心最大挠度或终值挠度）。

主导数方法有效地实现了弹塑性板或梁几何大变形行为的理论表征；然而，其应用范围仍然有限：目前仅适用于初始速度、阶跃加载压力和矩形脉冲等简单载荷。此外，该方法只能提供特征变形量（如中心最大挠度或终值挠度），无法直接描述复杂脉冲下的变形过程。在爆炸等实际场景中，多次波反射导致脉冲形状极其复杂。复杂脉冲往往使分析方法的数学推导过于繁琐甚至不可求解[29]。此外，为每种复杂载荷构建特定的压力-冲量（P-I）曲线也极大阻碍了工程应用[30]。因此，载荷等效方法——将复杂脉冲简化为等效的简单脉冲（如矩形脉冲）同时保持结构响应不变——已成为一种实用途径，并拓展至复杂材料[31]和复杂结构[32]。对于R-PP结构，广泛应用的Youngdahl等效法（Y-EM）[33]由Li和Jones提供了理论基础[34]，并已拓展至复杂结构[35]、屈曲问题[36]以及与爆炸载荷预测的整合[37]。考虑饱和现象，Zhu等人提出了适用于简单解析表达式脉冲的饱和等效法（S-EM）[15,38]和适用于任意脉冲的渐进等效法（P-EM）[29]。对于以膜力为主导的有限挠度问题，Wei等人[39]提出了膜力等效法（M-EM）。对于弹性（或弹脆性）结构，也存在相应的等效方法[30,40]。

然而，目前针对弹塑性结构的载荷等效方法仍然较少。存在两大挑战：(1) 现有等效方法大多为刚塑性结构设计，依赖于预定义的变形阶段；(2) 实际材料变形阶段随主导数动态变化，且主导数方法仅能给出简单载荷下的特征量，而非映射复杂脉冲的变形过程。因此，有必要引入弹塑性主导数并与渐进等效法相结合，以解决复杂脉冲下的跨阶段等效问题。

综上所述，本文旨在填补弹塑性结构在复杂脉冲下载荷等效方法的空白。基于主导数方法的最新进展，我们将主导数[25]与P-EM框架[29]相结合，构建了DN-EM方法——一种面向薄方板的全新载荷等效方法。本文的组织结构如下：第2节介绍基于主导数的挠度过程分析；第3节描述DN-EM方法；第4节展示DN-EM预测的挠度过程；第5节讨论在多种复杂脉冲下的预测与讨论。

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**各节内容摘要**

### 基于主导数方法的阶跃加载或RTP下板的挠度过程

本研究考虑一个承受均布压力$p(t)$的薄弹性完全塑性（E-PP）方板，如图1所示。边界条件为简支或固支，几何与材料属性由边长$a$、厚度$h$、杨氏模量$E$和屈服强度$Y$定义。脉冲形状$p(t)$可以是任意的，如阶跃加载、矩形脉冲（RTP）、三角下降脉冲（TDP）或指数下降脉冲（EDP）。

### 现有载荷等效方法综述

已为刚塑性结构发展了多种载荷等效方法：

**Y-EM（Youngdahl等效法）[33]**：利用经验截断时间公式将复杂脉冲转换为等效矩形脉冲（E-RTP）。初始屈服时刻$t_y$到塑性变形终止时刻$t_f$之间的脉冲被转换为具有相同形心和冲量的E-RTP：

$$p_y(t_f - t_y) = \int_{t_y}^{t_f} p(T) dT; \quad i = \int_{t_y}^{t_f} p(T) dT; \quad t_d = \frac{2\int_{t_y}^{t_f}(T - t_y) p(T) dT}{i}; \quad p_0 = \frac{i}{t_d}$$

其中$p_y$为静态屈服载荷。

### DN-EM预测的挠度过程

DN-EM对固支和简支边界条件均有效。为简洁起见，第4节、第5.1节和第5.2节报告了与有限元（FEM）结果对比的简支板DN-EM结果。第5.3节则展示了实际爆炸场景下固支板的结果。

### 终值-峰值挠度比与能量比的预测

终值-峰值挠度比$\eta \equiv w_f / w_m$描述了峰值后的振动幅值。在阶跃加载下，$\eta$仅依赖于$\eta = \eta(\xi)$。如图10(a)所示，固定$\xi$、变化$\zeta$的数值模拟证实$\eta$与$\zeta$无关。

对于简支方板，[25]给出：

$$\eta = 1 - \frac{3.691}{\xi + 4.417}$$

对于阶跃加载下的固支板，$\eta$由第2节建立的数据集拟合得到。对每个$\xi$，取不同$\zeta$下$\eta$的均值作为拟合值，标准差用于…

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**结论**

本研究提出了一种基于主导数的载荷等效方法（DN-EM），用于预测复杂脉冲下弹塑性薄方板的挠度过程。首先，除此前提出的弹塑性主导数$\xi$和$\zeta$外，引入了无量纲时间变量$\bar{t}$以表征中心挠度过程$\bar{w}$。然后，受P-EM方法启发，建立了DN-EM等效过程，将复杂脉冲等效转换为…

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**作者贡献**

万天河（第一作者）：概念化、方法论、验证、软件、数据整理、形式分析、调查研究、可视化、初稿撰写；

陈岩（第二作者）：有限元模拟、验证；数据整理

谢昊如（第三作者）：概念化、方法论、形式分析；

邱新明（通讯作者）：概念化、方法论、经费获取、指导、审阅与编辑。

**CRediT作者贡献声明**

万天河：初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查研究、形式分析、数据整理。

陈岩：审阅与编辑、软件、方法论、调查研究。

谢昊如：审阅与编辑、方法论、调查研究。

邱新明：审阅与编辑、指导、方法论、经费获取、概念化。

万天河 | 陈岩 | 谢昊如 | 邱新明

清华大学航天航空学院，北京 100084，中国