结合结构可靠性分析方法的全局优化

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：Global optimization with structural reliability analysis methods

　　

•提出了一种结合结构可靠性分析的全局优化框架。
•无约束和有约束问题分别需要一次或两次可靠性分析。
•基于失效概率的标准指导参数 T 的选择。
•GO-SR 框架兼容能够生成失效域样本的可靠性方法。
•一种基于自适应 HMC 的 SuS 方法提高了优化效率和稳定性。

引言

优化问题在科学和工程领域广泛存在 [1], [2], [3], [4]。作为数学与计算机科学交叉的核心技术，优化算法将复杂问题转化为可处理的形式，使有限的资源能够高效地搜索最优解，在应对科学与工程挑战中发挥着不可替代的作用。

无约束优化问题是有约束优化的基础。解决此类问题的方法可大致分为两类。第一类是数值方法，如最速下降法 [5]、共轭梯度法 [6] 和拟牛顿法 [7]，这些方法依赖梯度信息和迭代过程来获取最优解。例如，Zhang [8] 基于最速下降法提出了一种离心风机叶片轮廓的二参数优化方法。Ma [9] 通过修改参数提高了共轭梯度法的效率和适用性。Cheng [10] 开发了一种增广无记忆 Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (BFGS) 更新公式，以及一种基于新修改割线方程的高效优化算法，用于解决大规模无约束优化问题。另一类是随机搜索算法，包括遗传算法 [11]、模拟退火 [12]、粒子群优化 [13] 等。由于具有概率搜索机制，这些方法易于实现，可并行化，且不依赖梯度和目标函数形式的要求，因此具有广泛的适用性和强鲁棒性。例如，El-Alem [14] 通过结合模拟退火和线搜索梯度法提出了一种混合算法。Parouha [15] 结合粒子群优化和差分进化开发了一种混合算法。

在实际工程设计与制造中，由于非凸且不可微的目标函数、复杂的非线性约束以及不连续或不确定的设计空间，有约束优化比无约束优化更具挑战性。传统数值方法，如齐次线性规划 [16]、动态规划 [17] 和非线性规划 [18]，依赖基于梯度的围绕初始点的局部搜索，但其性能强烈依赖于初始猜测，并受到连续性和可微性要求的严格限制。相比之下，随机搜索方法 [19], [20], [21] 避免了这些限制，能够有效地探索设计空间。这些方法通常由两个阶段组成：探索，即广泛且随机地搜索可行设计空间；开发，即专注于搜索已识别的区域以定位最优解。因此，随机搜索方法通常与专门的约束处理策略相结合来解决有约束优化问题。常用的策略包括罚函数法 [22]、多目标方法 [23] 和基于概率的可行性规则 [24]。罚函数法通过构建带有罚因子的新适应度函数，将有约束优化问题转化为无约束问题。然而，罚因子的选择强烈影响优化性能，这可以通过自适应罚策略来改进 [25]。多目标方法将有约束优化重构为多目标问题，通常表现出良好的收敛性，尽管计算成本较高。基于概率的可行性规则利用样本落入可行区域的概率作为采样策略的权重因子，从而将有约束问题转化为无约束问题。然而，它通常对可行区域边界和全局最优区域提供不足的探索，从而限制了优化效率。不同的约束表现出不同的特征，使得单一的约束处理技术难以取得令人满意的效果。因此，结合多种技术以利用互补优势的混合策略变得越来越有效。例如，Wang [26] 通过将种群进化过程分为三个阶段，并在不同阶段应用帕累托排序和自适应罚函数，提出了一种自适应平衡模型。在另一项研究中，Wang [27] 结合可行性规则与 ε-约束法，使差分进化能够在可行性、多样性和收敛性之间取得平衡。

在随机搜索方法的背景下，Jensen 开发了一类贝叶斯更新框架内的优化技术，称为 m-TMCMC 方法 [28], [29]。通过引入参数 T，优化问题被重构为贝叶斯推断问题，并使用转换马尔可夫链蒙特卡洛 (TMCMC) 方法 [30] 求解，从而能够解决无约束和有约束问题。尽管具有这种引人注目的特征，但 m-TMCMC 的实际实现通常涉及迭代确定 T。为此采用的有效样本量技术会导致方程中包含指数项，在某些情况下这可能使数值处理变得不那么直接。在这种情况下，可能需要特殊的数值处理，或者引入固定的迭代步长以维持算法的鲁棒性。然而，这可能会增加计算复杂度，并且迭代求解过程的规模仍然难以有效控制，可能导致更高的计算成本。此外，由于该方法基于 MCMC 采样，样本自相关可能仍然存在，并且在重复运行中可能会观察到优化结果的一些变异性。这些方面使得在实践中获得始终稳定的解决方案更具挑战性。

为了促进更稳定和高效的优化，本文提出了一种基于结构可靠性分析的新型全局优化框架 (GO-SR)，该框架利用了贝叶斯更新与结构可靠性之间的关系。更具体地说，所提出的框架从优化诱导的辅助密度开始，并将其表示为与扩展失效事件相关的条件密度。通过表明设计变量在该事件下的边际条件密度与辅助密度相同，将全局优化诱导的辅助采样问题表示为扩展失效事件采样问题。因此，任何能够生成代表性失效域样本的可靠性方法都可以与 GO-SR 框架耦合。在本文中，采用一种改进的带有哈密顿蒙特卡洛 (HMC) 采样的自适应子集模拟 (SuS) 方法作为高效实现，因为 SuS 中中间失效域的序列构建直接符合 GO-SR 的样本生成要求。无约束优化问题可以通过单阶段可靠性分析解决，而有约束问题需要两阶段分析。根据辅助极限状态函数与参数 T 之间的关系，建立了一种易于实现的 T 选择方法，其中 T 的选择由预设的失效概率阈值指导，从而减少了对昂贵迭代标定的需求，并在效率和准确性之间取得平衡。所提出的基于 HMC 的 SuS 方法采用辅助极限状态函数的对数变换以避免直接指数评估并减少数值困难。由于 HMC 具有高接受率和低样本相关性，该方法增强了最优解搜索的稳定性并减少了结果解决方案的变异性。最后，通过两个数值有约束优化算例和两个涉及随机动力系统的基于可靠性的优化算例，演示了所提方法的效率和适用性。

本文结构如下。第 2 节介绍了无约束优化问题的辅助密度公式，推导了优化诱导辅助密度的扩展失效事件表示，分析了辅助极限状态函数与参数 T 之间的关系，并开发了确定 T 的标定方法。第 3 节描述了改进的自适应基于 HMC 的 SuS 方法，包括数据预处理、HMC 参数的自适应更新和算法实现。第 4 节将所提框架扩展到第有约束优化，并开发了两阶段解决方案方案。第 5 节提出了数值有约束优化和基于可靠性的优化算例。最后，第 6 节提出了结论和讨论。

章节片段

无约束优化问题的辅助密度公式及其与贝叶斯更新的关系

无约束优化问题旨在给定设计空间内确定目标函数的最优解。该问题可以公式化为：
最小化 $m_{\mathbf{x}}$
满足 $\mathbf{x} \in X_{\Gamma} \subset \mathbb{R}^n$
其中 $m_{\mathbf{x}}$ 表示目标函数，通常代表设计成本、结构重量、期望性能函数（例如可靠性指数）。$\mathbf{x}$ 表示 n 维设计变量向量。对于 $\mathbf{x}$ 的第 j 个设计变量 $x_j$，存在一个侧约束 $x_{jl} \leqslant x_j \leqslant x_{ju}$。$X_{\Gamma}$ 表示...

基于 HMC 的 SuS 方法用于无约束优化问题

第 2 节将无约束优化重构为扩展可靠性分析问题，其中失效样本提供了集中在最优区域附近的候选设计点。原则上，任何合适的基于采样的结构可靠性方法都可以用于此目的。然而，公式 (16) 中的常数 c 对采样效率和解决方案准确性都有重大影响。其解析确定通常难以处理，而数值...

有约束优化问题的 GO-SR 框架

有约束优化问题包括一个目标函数和一组关于设计变量的约束，公式化为在这些约束下最小化目标函数。在本文中，考虑以下有约束优化问题：
最小化 $m_{\mathbf{x}}$
满足 $\Lambda_k(\mathbf{x}) \leqslant \delta_k, k = 1, \dots, n_{\Lambda}$
$\mathbf{x} \in X_{\Gamma} \subset \mathbb{R}^n$
其中 $m_{\mathbf{x}}$ 是目标函数，$\Lambda_k(\mathbf{x})$ 表示约束函数，通常与产品尺寸、材料特性等设计要求相关，以及...

案例研究

本节提出了几个算例，包括数值和工程案例，以演示所提出的 GO-SR 框架的性能。数值算例首先检验了方法的采样行为、稳定性和效率，随后是展示其在随机激励下结构动力系统基于可靠性的优化中适用性的工程案例。值得注意的是，有约束优化的求解程序...

主要结论

本文将全局优化问题重构为扩展失效事件采样问题，并建立了一种基于结构可靠性分析的全局优化框架 (GO-SR)。对于无约束优化问题，GO-SR 定义了一个辅助极限状态函数，并通过一次可靠性分析获得候选最优解，而有约束优化则通过涉及两次可靠性分析的两阶段方案来解决。在第一阶段，

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（项目编号 NSFC 52375156）和国家重点实验室冲击波与爆轰物理科学研究项目（项目编号 JCKYS2024212104）的支持。

Zeming Chang|Luyi Li|Yushan Liu