验证一个联合训练的神经网络Heston校准器：持续同调、无套利边界与条件化陷阱

《Expert Systems with Applications》：Validating a jointly trained neural Heston calibrator: persistent homology, no-arbitrage bounds, and a conditioning trap

　　

摘要
一个联合训练的DGM Heston校准器，其前向网络在单个参数点上训练，并在一个基准合约上选择检查点，能够达到稳定的训练损失，但返回的参数估计平均绝对百分比误差（MAPE）高达97.6%。我们识别出该配置中的一个条件化陷阱。在一个包含相同42个报价和16个初始化的交叉干净报价集上，经典信赖域校准器恢复了参数（中位MAPE为3.3%）。精确定价器上的Adam已经跟踪其初始化（斜率0.64–0.90），完整的神经网络管线则几乎一比一跟踪（斜率 ≈ 1，η2 > 0.9999）。将数据损失重加权跨越四个数量级并删除物理项，对结果的影响最多为1.3个百分点。通过冻结代理进行的二阶更新同样失败（中位MAPE ≥ 109%）。在测试的2 × 2优化器–定价映射设计中，恢复仅发生在二阶参数更新与足够精确的定价映射配对时，且处于局部病态几何条件下，即一个主导特征值和一个κ-平坦方向；多目标梯度冲突是症状而非原因。没有任何单一指标能揭示该失败：曲面的拓扑形状仅轻微扭曲，而其价格约75%错误，并在42个报价中的19个上违反了欧式下限。因此，我们为金融中的神经PDE系统构建了一个四层事后验证堆栈：逐点误差、无套利检查、结构层和参数审计。结构层是一种持久同调检查，在报告的网格大小下每个曲面运行时间不到0.1秒，其有限的非对角特征可以认证行权价或期限单调性违反。它评估违反深度，而直接单元格计数衡量发生率，从而将真正的局部缺陷与噪声引起的浅层符号反转区分开来，并标记零星的浮点16上尾腐败。在一个29次校准的汇总非独立集合中，结构与参数的关联为Spearman ρ=0.04，在独立性下的近似Fisher 95%区间为[?0.33,0.40]，我们仅作描述性处理。各层针对不同的对象：曲面检查不能替代参数审计。

引言
神经PDE求解器，即物理信息神经网络（PINNs）（Raissi, Perdikaris & Karniadakis, 2019）和密切相关的深度Galerkin方法（DGM）（Sirignano & Spiliopoulos, 2018），代表了一类新兴的旨在无经典网格依赖求解高维金融方程的智能系统（Beck, E., Jentzen, 2019; Han, Jentzen, E., 2018; W Han, Jentzen, 2017）。在期权定价中的应用包括随机波动率下的神经求解器（Becker, Cheridito, Jentzen, 2020; Salvador, Oosterlee, van der Meer, 2021）以及跨越Heston、Bates和粗糙波动率模型的逆校准（Baschetti, Bormetti, Rossi, 2024; Bayer & Stemper, Horvath, Muguruza, Tomas, 2021; Liu, Borovykh, Grzelak, Oosterlee, 2019）。然而，这些智能系统在金融环境中的安全实施和管理需要严格的测试。目前，这些求解器的实际验证几乎完全依赖于逐点指标：均方根误差（RMSE）、平均绝对百分比误差（MAPE）或基准行权价处的相对定价误差。

验证无网格神经求解器本质上比验证经典方案更难。没有固定的计算网格用于检查节点收敛性，而在校准设置中，唯一观察到的真值只是少量报价。因此，一个系统可以复现那些报价，或者命中单个基准合约，同时在报价未约束的几乎任何地方都是错误的。这是衍生品定价模型不确定性意义上的模型风险问题：小的验证集和误设模型可以使实质不同的价格或风险度量与相同观察值保持一致（Cont, 2006; Glasserman, Xu, 2014）。

这些逐点指标在某种意义上是结构性盲的。两个重建的定价曲面可以达到相似的RMSE，但表现出定性不同的结构：不同数量的等值面组件、货币性-期限平面上不同的曲率分布，或不同的定价区间连通性。一个能良好定价观察报价的重建曲面可能在无报价观察的区域几何上是错误的，这对对冲、风险管理和外推产生影响。对于一个进入生产的智能定价或校准系统，这是一个模型风险问题：一个在报告指标上看起来准确，但结构或参数上错误的组件，可能通过验证仍然错定价或错对冲。因此，一种无需访问密集真值即可检测此类失败的诊断手段对金融模型验证专家系统具有直接兴趣。

持续同调（Carlsson, 2009; Edelsbrunner, Harer, 2010）是拓扑数据分析（TDA）中的一个工具，为检测此类结构差异提供了原则性框架。通过跟踪标量场中拓扑特征随滤过阈值变化的生灭，它产生一个持久图来独立于逐点值地总结场的结构内容。持久图之间的沃瑟斯坦距离提供了结构差异的单一标量度量，其稳定性继承自瓶颈度量（Cohen-Steiner, Edelsbrunner & Harer, 2007），并扩展到此处使用的沃瑟斯坦比较（第4.2节）。

持续同调最近被用于检测神经网络产生场中的结构伪影：神经隐式曲面重建中的虚假连通分量（Jignasu等, 2024）、立方体复形上神经标量场的持续性（Berzins等, 2025），以及基于持久图距离的训练诊断（Gutiérrez-Fandi?o, Pérez-Fernández, Armengol-Estapé & Villegas, 2021）。在金融领域，它几乎被专用于时间序列（Gidea, Katz, 2018; Rudkin, Qiu, D?otko, 2023; Souto, 2023）。

本文开发了该交叉点缺失的部分：为神经求解器产生的期权定价曲面提供事后结构验证层，应用于Heston随机波动率模型。该管线由立方体持续同调和沃瑟斯坦-2距离组装而成，因此可以附加到任何产生标量场的求解器上而不修改求解器。可选的报告截止值总结有限特征计数；没有推断性陈述依赖于它。

本研究的调查沿单一线索组织，围绕五个研究问题展开：
（RQ1）基准合约精度是否跨越定价曲面延伸？（第6.1节）
（RQ2）算术精度是否影响学习曲面的结构保真度？（第6.2节）
（RQ3）持续同调是否能检测到逐点指标无法定位的结构错误？（第6.3-6.4节）
（RQ4）测试的联合训练DGM校准是否恢复真实的Heston参数？（第6.5和6.7节）
（RQ5）观察到的恢复失败由哪个因素解释：优化器类别、定价映射精度，还是多目标交互？（第6.6和6.8-6.10节）

结果部分遵循此顺序。

我们做出三项贡献。据我们所知，前两项是拓扑数据分析作为结构验证层首次应用于神经期权定价和金融PDE优化景观。

1. 神经期权定价曲面的结构诊断。
我们将立方体持续同调应用于货币性与时限上的美元价格曲面C(K/S, v0, τ)，计算持久图、特征计数以及与蒙特卡洛参考的沃瑟斯坦-2距离。该诊断标记出逐点指标无法定位的结构错误。我们证明了行权价和期限单调曲面是拓扑平凡的，因此任何有限的非对角特征都认证至少违反了这两个条件之一。受控的float16/bfloat16/float32消融进一步表明算术精度影响拓扑保真度。使用标准损失缩放的半精度运行仍无法达到准确价格并产生结构损坏的曲面，沃瑟斯坦-2不匹配增大约六倍，而bfloat16（与float32具有相同指数范围）训练正常。在配对十六种子扩展中，float16产生零星的上尾腐败，而bfloat16与float32无系统差异。

2. 对测试的联合DGM校准中条件化陷阱的受控分解，其前向网络在单个参数点上训练并在单个基准合约上选择。
采样目标和梯度余弦切片的持续同调暴露了高损失脊和持续梯度冲突周期的结构化景观。测试的DGM校准器未能恢复真实参数（默认初始化下汇总MAPE 97.64 ± 0.07%）。优化器消融分解了失败：在精确定价器上，信赖域最小二乘在16次初始化中的15次恢复（中位3.3%）；在匹配预算下，Adam已经跟踪其初始化（斜率0.64–0.90，平均MAPE 62.7%）；完整神经管线几乎一比一跟踪（斜率 ≈ 1.0，平均MAPE 120%）；通过冻结神经代理的二阶优化器仍失败（中位MAPE ≥ 109%）。将数据损失重加权跨越四个数量级和删除物理项，每个最多改变结果1.3个百分点，排除了多目标梯度冲突作为约束瓶颈。在此2 × 2设计中，恢复仅在二阶参数更新与准确定价映射配对时发生。局部高斯-牛顿谱提供了与条件化解释一致的收敛独立几何证据，通过一个主导特征值和κ-平坦方向。

3. 神经定价系统的实用分层验证协议。
我们将结构诊断与逐点误差、静态无套利检查（正定性、欧式下限、行权价和期限单调性以及行权价凸性）和参数高斯-牛顿审计结合为事后验证堆栈。有限特征证书和直接套利检查无需参考；沃瑟斯坦不匹配将候选图与参考图进行比较。两种拓扑模式在报告的网格大小下每个曲面运行时间不到0.1秒，且不需要修改求解器。

第2节综述相关工作。第3节呈现Heston PDE及其神经求解器。第4节形式化拓扑诊断。第5节描述实验协议。第6节呈现结果。第7节讨论影响。第8节结论。

章节片段

相关工作
本节将本文定位在三个先前工作脉络的交叉处：Heston模型的经典和神经求解器、有文档记录的PINN失败模式，以及科学计算和金融中的拓扑数据分析。它们交叉处的空白是神经金融PDE求解器的结构性事后验证层。

Heston模型及其神经求解器
本节固定符号：陈述我们求解的Heston PDE以及后文诊断应用于的两个神经求解器（DGM和Deep-BSDE）的曲面。

拓扑诊断框架
本节定义诊断：定价曲面的持续同调、沃瑟斯坦-2拓扑误差度量及其稳定性保证，以及用于刻画校准失败的两个参数空间工具（高斯-牛顿几何和梯度冲突度量）。

实验设计
本节描述正向、精度消融和逆校准实验以及将其曲面和损失景观转化为拓扑摘要的协议；完整超参数推迟至附录A。每个美元价格实验中现货S0=100美元。

结果
结果遵循第1节设定的调查线索：正向精度（第6.1节）；拓扑、精度和受控扰动下的曲面错误（第6.2-6.4节）；校准恢复（第6.5和6.7节）；测试设计内的恢复归因（第6.6-6.10节）。

讨论
本节解释结果：拓扑度量超越逐点误差增加的内容，逐点、结构和参数检查如何配合，高斯-牛顿对初始化跟踪的解释，以及方法的实用和方法论限制。

实验将优化器–定价映射恢复与结果曲面的结构和金融验证相连接。交叉设计分离了四个优化器/映射单元格的恢复行为，而

结论
本研究引入持续同调作为随机波动率期权曲面的结构验证层，并确立它在逐点和直接金融检查之上增加的内容。在60个匹配的局部化/扩散对中，对内RMSE相同且振幅跨越参考最大值的2%-8%，持续同调以AUC 1.0分离两个队列，而扩散队列暴露了基于单调性的拓扑证书的凸性盲区。

确定性

CRediT作者贡献声明
Jesús Garví-Gualda：概念化、方法学、软件、验证、正式分析、调查、数据管理、写作 – 原稿、写作 – 审阅与编辑、可视化、项目管理。

利益冲突声明
作者声明他们不存在已知的竞争财务利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文报告的工作。

Jesús Garví-Gualda