整合心智：一种用于投资组合优化的集成方法

《Journal of Banking & Finance》：Integrating minds: An ensemble approach to portfolio optimization

　　

摘要
协方差矩阵的估计误差严重削弱了投资组合优化的效果。为应对这一挑战，我们引入了一种新颖的集成方法，该方法基于“分而治之”的策略和“集思广益”的原则。这种简单的方法通过构建和聚合大量基模型来形成一个强大的集成投资组合。所提出的方法通过资产分组进行降维以提高估计准确性，通过跨模型平均来减少噪声，并利用来自多样化集成学习者的互补信息。比较评估表明，我们的方法在投资组合风险、交易周转率和净夏普比率方面表现出卓越的性能。

引言
在现代投资组合理论中（Markowitz, 1952），平均收益和协方差矩阵的估计对于有效的投资管理至关重要。然而，当处理大量资产时，这些估计会变得相当复杂，导致显著的估计误差。众所周知，这些误差会导致投资组合表现不佳，尤其是在高维设置下（Jobson 和 Korkie, 1980, Jobson 和 Korkie, 1981, Frost 和 Savarino, 1986, Frost 和 Savarino, 1988, Michaud, 1989, Best 和 Grauer, 1991, Broadie, 1993, Chopra 和 Ziemba, 1993, Kan 和 Zhou, 2007, Kan 等人，2022）。与协方差矩阵相比，这些估计误差对平均收益估计的影响更为有害（Merton, 1980, Best 和 Grauer, 1991）。因此，最近的金融研究越来越关注仅依赖协方差估计并明确避免使用样本平均收益的全局最小方差（GMV）投资组合（Jagannathan 和 Ma, 2003, DeMiguel 等人，2009a, DeMiguel 等人，2009b, Ledoit 和 Wolf, 2017, Shi 等人，2020）。然而，估计的 GMV 投资组合并不能免受从样本协方差矩阵 S 推导资产收益协方差矩阵时出现估计误差的问题。这往往会导致样本外的高方差和极端权重，特别是当样本量 n 相对于资产数量 p（即投资组合维度）较小时。此外，在高维度下，样本协方差矩阵 S 甚至可能变得不可逆。文献中提出了各种方法来解决这些问题，大致可分为三类。第一类，如 Jagannathan 和 Ma (2003), Brodie 等人 (2009), 以及 DeMiguel 等人 (2009a) 等作品所倡导的，主张对投资组合权重施加约束。这种方法得到了 Fan 等人 (2012) 和 Behr 等人 (2013) 的研究支持，以及 Levy 和 Levy (2014), Xing 等人 (2014), Yen 和 Yen (2014), Li (2015), Yen (2016), Ao 等人 (2019), Kremer 等人 (2020), 和 Li 等人 (2022) 的近期分析，旨在减轻投资组合权重的极端值并促进最优权重的稳定估计。虽然这种方法在减少估计波动性方面有效，但施加约束可能会通过限制投资组合利用潜在高回报机会的能力而导致更保守的投资策略。

第二类旨在通过收缩技术获得更好的协方差矩阵估计。一种广泛使用的协方差收缩类型是线性收缩估计量，它被设计为样本协方差矩阵 S 和目标矩阵的加权平均，后者通常是一个更简单且更稳定的矩阵，用作参考点。目标矩阵的常见选择包括由平均收益率方差缩放的身份矩阵，或单因子模型协方差结构，假设所有资产共享一个共同的波动率成分。Ledoit 和 Wolf, 2003, Ledoit 和 Wolf, 2004a, Ledoit 和 Wolf, 2004b 充分记录了这种方法，强调了其在参数估计中平衡偏差和方差方面的可行性。此外，近期关于协方差估计的非线性收缩方案的讨论探索了样本特征值的非线性变换，如 Ledoit 和 Wolf (2012), Lam (2016) 以及 Ledoit 和 Wolf, 2020, Ledoit 和 Wolf, 2022 所研究的那样。其他收缩估计量利用惩罚似然函数，Friedman 等人 (2008), Warton (2008), Won 等人 (2013), Goto 和 Xu (2015), 以及 Shi 等人 (2020) 做出了重要贡献。然而，这些方法可能对目标矩阵和收缩强度的选择高度敏感，如果这些未与真实数据结构良好对齐，可能会导致模型误设（Goto 和 Xu, 2015, Shi 等人，2020）。

第三类将两个或更多异质投资组合组合成更好的投资策略。此类组合的常见候选者包括等权（EW）投资组合、样本 GMV 投资组合、样本均值 - 方差投资组合以及各种其他优化投资组合（Kan 和 Zhou, 2007, Tu 和 Zhou, 2011, DeMiguel 等人，2013, Bodnar 等人，2018, Kan 等人，2022, Bodnar 等人，2023, Kazak 和 Pohlmeier, 2023, Nardari 和 Schüssler, 2024, Lassance 等人，2024a, Lassance 等人，2024b, Yuan 和 Zhou, 2024, Kan 和 Lassance, 2025）。等权投资组合虽然能抵抗估计误差，但没有利用样本信息。相反，优化投资组合利用样本信息，但容易受估计误差影响。虽然这两类投资组合在实践中往往表现出次优性能，但两者的组合可以通过适当选择组合系数，在估计误差和信息使用之间实现最佳平衡。我们的工作采用了类似的组合投资组合方法，通过聚合多个投资组合。本工作做出的明确区别在于，现有方法由少数异质投资组合组成，而我们的策略结合了大量同质投资组合。

机器学习最近被学术界和业界采用，尤其是在高维金融研究中，因为这种技术在分类和预测方面功能强大。例如，Gu 等人 (2020) 比较了用于经验资产定价的各种学习方法，证明了回归树、随机森林和神经网络在预测美国股票风险溢价方面的实用性。机器学习算法正积极应用于预测各种资产的收益，如中国股票收益（Leippold 等人，2022）、基金收益（Wu 等人，2021, DeMiguel 等人，2023, Kaniel 等人，2023）、债券收益（Bianchi 等人，2021）和期权收益（Bali 等人，2023）。

作为一种明智的机器学习方法，集成学习利用多个学习者以获得优于任何单一组成学习者的预测性能（Zhou, 2012），正如谚语所言“集思广益”。受此谚语启发，本研究引入了一种新颖的集成方法应用，用于 GMV 投资组合权重估计，以增强样本外投资性能。这种方法利用集体的智慧来克服个人决策者的局限性，从而使投资组合选择能够做出更明智的决策。基模型（树）的装袋平均形成了一个强模型（森林），减少了预测的方差。此外，森林内的特征随机性通过确保决策树之间的低相关性进一步降低了方差。我们提出的集成方法用于提高全局最小方差（GMV）优化中估计最优投资组合权重的整体准确性。该方法涉及两项主要任务：(I) 建立一系列基模型以获得投资组合优化问题的初步解决方案，以及 (II) 组合所有这些基模型以形成一个强模型，并实现对该问题的显著改进的解决方案。

任务 (I) 通过一个三步过程完成。首先，我们将金融资产随机分成多个组（G），并计算每组的最优 GMV 投资组合权重及相关组合收益。其次，我们计算所有组合收益的最优 GMV 投资组合权重。第三，我们结合组内和组间的最优权重来确定个别资产的最优权重；这些聚合结果构成了一个基模型的解决方案。此三步过程重复多次（B）以生成一系列基模型。每个基模型都可以被认为是一个弱个体学习者，它们在分配给个别资产的投资组合权重上有所不同。在任务 (II) 中，我们将这些基模型集成为一个强模型。可以使用不同的集成方法，如简单平均、加权平均和模型堆叠。鉴于所有基模型都是使用相同方法构建的，我们使用简单平均来组合基模型并创建一个强学习者。这种集成方法有助于平均掉大部分噪声并增强基础数据信号的强度，从而提高估计投资组合权重的准确性和稳定性。

我们提出的集成方法在方法论上对投资组合优化具有吸引力，在处理协方差估计时提供了两个显著优势。第一个优势是在不丢失资产数据中嵌入信息的情况下实现有效的降维。虽然降维通常通过主成分分析等技术实现，正如 Gu 等人 (2020) 所指出的，我们的工作采用了一种以“分而治之”方式接近这一点的集成方法。通过将大量资产 p 分成多个组，每组 g 的矩阵 Sg 具有较小的维度 pg（相对于 n），并且可以以更高的准确性进行估计。这提供了一种独特的方法来应对在高维度下面对未知协方差时估计最优投资组合权重的挑战，如前所述。

我们提出方法的第二个优势在于通过弱模型的集成增强了投资组合权重估计的稳定性。传统方法通常通过对资产权重施加约束或依赖大型且良态的协方差矩阵来稳定投资组合投资。相比之下，我们的集成方法以一种根本不同的方式确保稳定的权重估计。利用“集思广益”的原则——通过多个弱模型的集体见解——我们显著提高了权重估计的准确性和稳定性。

提出的集成方法涉及选择两个参数：资产组数 G 和基模型数 B。直观地说，G 的值极小或极大都不太可能是最优的，因为生成的投资组合将非常接近直接源自高维协方差矩阵 S 的投资组合。我们通过最小化估计投资组合权重的留一法交叉验证方差来确定 G 的最优值，这是一种在文献中确立的技术。至于 B，虽然投资组合权重的稳定性随着值的增加而提高，但一旦 B 达到足够大的数量，它往往会趋于平稳。基于定量分析和参数模拟，我们将随机重复的迭代次数设置为 B=1000，这足够大，可以确保基模型能够代表资产数据并为投资组合选择提供信息。这使得能够通过集成方法创建稳定的投资组合。我们的实证结果表明，提出的方法在样本外方差风险、夏普比率、投资组合周转率和净夏普比率方面优于文献中的各种竞争方法，特别是当资产数量较大时。

本文其余部分组织如下。第 2 节详述了用于估计最优投资组合权重的集成模型。第 3 节概述了用于比较各种投资组合策略性能的标准标准。第 4 节展示了我们的方法与其他竞争方法在样本外性能比较中的模拟和实证结果。第 5 节提供了结论性意见，随后是一个附录。

章节片段
通过集成方法估计投资组合权重
本节首先介绍了一种用于估计 GMV 投资组合权重的集成方法，然后展示了一项模拟研究，以证明该方法在估计最优权重的稳定性和准确性方面的益处。

投资组合绩效评估：设置
本节概述了实证分析的设置，包括数据集、绩效指标以及用于构建 GMV 投资组合的竞争方法（集成方法和其他策略）。此外，我们就确定 B 和 G 的最优数量提供了深入讨论。

样本外绩效评估：比较
本节使用模拟数据和真实数据评估样本外投资组合绩效，并比较我们提出的投资组合与其竞争对手在投资组合风险、交易周转率、夏普比率和净夏普比率方面的表现。

此外，我们提供了关于投资组合权重特征（Min、Max、MAD、HHI、GE、PL）的某些见解。

结论

全球最小方差（GMV）投资组合由样本协方差矩阵推导而来，由于相对于样本量的高维度带来的估计误差，经常经历高换手率和升高的风险。本文提出了一种针对高维环境的新型投资组合选择集成方法。我们的策略采用两步过程进行误差减少。首先，我们采用"分而治之"原则开发基础模型，创建...

CRediT作者贡献声明
石方全：撰写-原稿、软件、概念化。邱佳平：撰写-审阅与编辑。顾新化：撰写-审阅与编辑、形式分析。舒连杰：撰写-审阅与编辑、监督、方法论。

致谢
石博士受国家自然科学基金（编号：72101119）资助。邱博士受国家自然科学基金（编号：72672102）资助。舒博士受广东基础与应用基础研究基金（EF2025-00246-FBA）和多年研究拨款（MYRG-GRG2026-00015-FBA）资助。

石方全|邱佳平|顾新化|舒连杰