基于Lyapunov–Razumikhin方法的含Lévy噪声随机时滞系统的有限时间稳定性与镇定分析

《Mathematics and Computers in Simulation》：Finite-time stability and stabilization analysis of stochastic delay systems involving Lévy noise with Lyapunov–Razumikhin approach

　　

# 摘要

本研究采用Lyapunov–Razumikhin方法，探讨了带Lévy噪声的随机时滞系统的有限时间稳定性与稳定化问题。Lévy噪声的理论分析本身较为复杂，主要由于其样本路径的不连续性，这给稳定性分析带来了显著困难。本文主要对现有文献中的稳定性判据进行了扩展与改进。首先，通过应用It?公式和停时技术，并结合调节时间的估计方法，改进了随机系统的有限时间稳定性判据。其次，设计了一种状态反馈控制器，以确保闭环非线性随机系统实现有限时间稳定。最后，通过数值算例验证了理论结果。

# 引言

随机微分方程（SDEs）是用于建模受随机扰动影响的动力系统的一种数学工具[1]。SDEs的定性理论与稳定性分析已成为微分方程领域中一个重要的研究领域，引起了广泛的学术关注[2]、[3]。SDEs在诸多学科中得到了成功的应用，例如金融[4]、工程[5]、物理[6]和生命科学[7]。深入了解SDEs解的动态行为与稳定性特性对于进行随机系统控制过程的误差分析至关重要[8]。有限时间稳定性是最受研究关注的稳定性概念之一[9]、[10]。与经典渐近稳定性[11]考虑时间趋于无穷时的长期行为不同，有限时间稳定性关注系统是否能在有限时间内达到并保持在期望的状态或区域内[12]。这使其在需要快速精确控制的应用中尤为有用。该概念在设计控制系统、优化算法和信号处理方法中具有重要意义，在这些领域及时响应和性能保证至关重要。它还通过使系统能在可预测的时间范围内从扰动中恢复来支持系统韧性。有限时间稳定性提高了对不确定性的可预测性和鲁棒性，使其在理论和实践中都具有价值[13]、[14]、[15]。

随机系统的有限时间稳定性概念在[16]中得到了系统引入，建立了处理随机系统稳定性问题的新颖理论框架。随后，Yin等人[17]将研究扩展到随机系统的动态行为，从而进一步完善了有限时间稳定性的理论基础。后来，Yu等人[18]、[19]在该领域引入了新的理论视角，提出了一种创新的稳定性分析方法并拓宽了微分算子LV的适用范围。在[20]中，Luo等人利用Henry–Gronwall时滞不等式和区间平移技术，得到了随机分数阶时滞微分方程的有限时间稳定性判据。最近，Yuan等人[21]发展了快速有限时间稳定性定理，通过增强Lyapunov条件显著缩短了收敛时间，并在随机非线性系统的控制中展现了令人前景的性能。

为了使研究更接近实际模型，考虑Lévy噪声的影响是必要的[3]、[22]、[23]。当存在显著的外部扰动（如金融市场波动）时，随机噪声可能表现出跳跃现象，这无法用布朗运动精确描述。Lévy噪声常用于建模具有跳跃特征的随机扰动[24]、[25]；然而，其样本路径的不连续性显著增加了稳定性分析的复杂性[26]。

目前，随机时滞微分方程的稳定性分析主要依赖于两种成熟的方法：Lyapunov–Krasovskii泛函方法和Lyapunov–Razumikhin方法[27]。对于某些复杂的随机时滞微分方程，构造Krasovskii泛函往往存在较大困难，而构造Lyapunov–Razumikhin泛函通常更为简便[28]、[29]。因此，学术界在考察此类方程的稳定性特性时倾向于采用Razumikhin方法[30]。

过去数十年中，大量最初针对经典泛函微分方程发展的稳定性结果已成功推广到随机泛函微分方程（SFDEs）的框架中。例如，Mao[1]率先将Razumikhin方法应用于SFDEs，建立了随机时滞方程的几乎必然指数稳定性的判据。Jankovi?等人[31]利用该方法分析了一类中性SFDEs的p阶矩稳定性和几乎必然指数稳定性。在另一项研究中[32]，Zhu将Razumikhin框架扩展到具有Lévy噪声和Markov切换的SFDEs的p阶矩稳定性研究。此外，Efimov等人[27]探讨了泛函微分方程的有限时间稳定性，并推导了其解收敛速度的定量估计。

时滞是控制系统中最常见的现象，因为设备操作、信号传输、数据处理等都需要一定的时间。因此，在现实中同时考虑随机扰动和时滞的影响是合理的。本文研究了带Lévy噪声的随机时滞微分方程（SDDEs）的有限时间稳定性。目标是利用Razumikhin方法建立此类方程的有限时间稳定性判据，从而弥补现有理论文献中的空白。本文的主要难点如下：(i) 如何在It?公式展开后处理与扩散项和跳跃项相关的随机项；(ii) 与确定性系统的Razumikhin条件不同（后者仅需约束Lyapunov函数的时滞形式与当前形式之间的量值关系），在随机系统中还必须考虑随机扰动对Lyapunov函数的影响；(iii) 确定性系统调节时间的上界是固定常数，而随机系统调节时间的上界是随机变量，需要证明该随机上界在概率意义下是有界的。

与已有研究相比，本文的贡献体现在以下两个方面。(i) 带Lévy噪声的SDDEs具有更高的普适性和更广泛的应用范围。因此，将不带跳跃噪声的SDDEs的有限时间稳定性扩展到带跳跃噪声的SDDEs是十分必要的。(ii) 在现有研究中，有限时间稳定性分析要么仅针对一般随机微分方程（SDEs）进行（如Yin等人[16]、Min等人[13]），要么仅在Razumikhin框架中引入Lévy噪声而未处理有限时间稳定性（如Zhu[32]）。本文首次为"随机性与时滞"耦合系统推导了Razumikhin型有限时间稳定性判据，并给出了相应的收敛时间函数。

为清晰展示现有方法的局限性并突出本文的贡献，表1将代表性的随机有限/固定时间稳定性判据与本文提出的结果进行了对比。

本文其余部分结构如下：第2节介绍主要符号和基本假设；第3节推导有限时间稳定性的充分条件；第4节提出一种反馈控制器设计方法以实现有限时间稳定性；第5节通过算例说明理论结果；第6节总结全文。

## 预备知识

通过Lévy–It?分解（更多细节见[33]），由Lévy噪声驱动的随机时滞系统可表述如下：

$$dx(t)=f(x(t),x(t+\tau(t)),t)dt+g(x(t),x(t+\tau(t)),t)dB(t)+\int_{|z|c}H_2(x(t)_-,x(t+\tau)_-,t,z)N(dt,dz),\quad t\geq 0$$

| 符号 | 含义 |
|------|------|
| $R_+$ | 非负实数集 |
| $C([-\tau,0];R^d)$ | 连续函数$\phi:[-\tau,0]\to R^d$的集合，具有一致范数$\|\phi\|=\sup_{-\tau\leq\theta\leq 0}\|\phi(\theta)\|$ |
| $L_F^p([-\tau,0];R^d)$ | 所有$F_0$可测的$C([-\tau,0];R^d)$ |

## 有限时间稳定性

基于上述准备工作，我们现在正式给出以下定理。

**定理3.1** 设$b, c, \lambda>0$。若存在Lyapunov函数$V(x,t)\in C^{2,1}(R^d\times[-\tau,\infty);R_+)$以及$k, a_1, a_2\in K$，使得：
(i) $a_1(x)\leq V(x,t)\leq a_2(x)$，
(ii) $\int_0^b \frac{1}{k(s)}ds<+\infty$，
(iii) $LV(x,y,t)\leq -\lambda k(V(x,t))$，

则系统(2)的平凡解是有限时间稳定的。

**证明** 基于引理2.3，可以得出系统(2)在概率意义下是稳定的。接下来证明系统(2)的平凡解是有限时间稳定的。当$\xi=0$时，我们……

## 有限时间稳定化分析

在前一节中，我们讨论了关于随机系统(2)有限时间稳定性的Razumikhin型定理，并推导了几个相关推论。由此产生的一个自然问题是：是否可以构造一个反馈控制器$u(x(t)):R^d\to R^d$来稳定受控随机系统。基于定理3.2和推论3.6，本节的目标是为受控随机时滞系统$dx(t)=[f(x(t),x(t+\tau(t))]+u(x(t))\ldots$设计这样的反馈控制$u(x)$。

## 算例

本节通过一个数值算例进一步验证本文所建立的理论与框架的有效性。

**例5.1** 考虑标量非线性带Lévy噪声的随机时滞系统：

$$dx(t)=f(x(t),x(t+\tau(t)))dt+g(x(t),x(t+\tau(t)))dB(t)+\int_{|z|
其中$c=1$，$\tau(t)=0.1|\sin(t)|$，系数$f, g, h$定义为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}y^2+\frac{5}{2},$$
$$g(x,y)=x,$$
$$h_1(x,y,z)=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}z-x.$$

设lévy测度$\nu(\cdot)$满足$\nu(dz)=\frac{dz}{1+|z|^2}$，因此$\int_{|z|<1}\frac{dz}{1+|z|^2}=\frac{\pi}{2}$。

## 结论

本文给出了带lévy噪声的随机时滞微分方程的有限时间稳定性判据，并提供了反馈控制器设计算例。这些结果为带lévy噪声随机系统的有限时间控制提供了强大的稳定性分析工具。基于此结果，未来研究可进一步探索sdes的固定时间稳定性和预设时间稳定性，并将分析推广到随机系统的有限时间同步控制。

## credit作者贡献声明

jiajie wang：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写，方法论，形式分析。
guanli xiao：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写，指导，方法论，形式分析。
yi guan：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写。
zhongli you：写作–审阅与编辑。

## 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究得到贵州省应用数学与算力算法重点实验室的大力支持，同时感谢编辑和审稿人的专业意见与建议。

jiajie wang | guanli xiao | yi guan | zhongli you t\geq 0$$ 其中$c=1$，$\tau(t)=0.1|\sin(t)|$，系数$f, g, h$定义为： $$f(x,y)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}y^2+\frac{5}{2},$$ $$g(x,y)=x,$$ $$h_1(x,y,z)=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}z-x.$$ 设lévy测度$\nu(\cdot)$满足$\nu(dz)=\frac{dz}{1+|z|^2}$，因此$\int_{|z|<1}\frac{dz}{1+|z|^2}=\frac{\pi}{2}$。 ## 结论 本文给出了带lévy噪声的随机时滞微分方程的有限时间稳定性判据，并提供了反馈控制器设计算例。这些结果为带lévy噪声随机系统的有限时间控制提供了强大的稳定性分析工具。基于此结果，未来研究可进一步探索sdes的固定时间稳定性和预设时间稳定性，并将分析推广到随机系统的有限时间同步控制。 ## credit作者贡献声明 jiajie wang：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写，方法论，形式分析。 guanli xiao：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写，指导，方法论，形式分析。 yi guan：写作–审阅与编辑，写作–初稿撰写。 zhongli you：写作–审阅与编辑。 ## 利益冲突声明 作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。 ## 致谢 本研究得到贵州省应用数学与算力算法重点实验室的大力支持，同时感谢编辑和审稿人的专业意见与建议。 jiajie wang | guanli xiao | yi guan | zhongli>
其中$c=1$，$\tau(t)=0.1|\sin(t)|$，系数$f, g, h$定义为：

$$f(x,y)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^3+\frac{5}{2}y^2+\frac{5}{2},$$
$$g(x,y)=x,$$
$$h_1(x,y,z)=\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}z-x.$$

设lévy测度$\nu(\cdot)$满足$\nu(dz)=\frac{dz}{1+|z|^2}$，因此$\int_{|z|<1}\frac{dz}{1+|z|^2}=\frac{\pi}{2}$。

## 结论

本文给出了带lévy噪声的随机时滞微分方程的有限时间稳定性判据，并提供了反馈控制器设计算例。这些结果为带lévy噪声随机系统的有限时间控制提供了强大的稳定性分析工具。基于此结果，未来研究可进一步探索sdes的固定时间稳定性和预设时间稳定性，并将分析推广到随机系统的有限时间同步控制。

## credit作者贡献声明

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## 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本研究得到贵州省应用数学与算力算法重点实验室的大力支持，同时感谢编辑和审稿人的专业意见与建议。

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