一种融合符号回归与物理引导神经网络的混合框架：面向跨几何疲劳裂纹扩展

《Engineering Fracture Mechanics》：A hybrid framework with symbolic regression and physics-guided neural network toward fatigue crack growth across geometries

　　

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  所提出的混合框架展示了实现准确跨几何预测的潜力。
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  双通道符号回归可以有效发现FCGR的公式候选。
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  研究表明，几何效应可以被编码到裂纹尖端的标准断裂力学参数中。

引言

疲劳裂纹扩展率（FCGR）预测是损伤容限设计和结构完整性评估的基石[1]。当前工程实践通常依赖于将Paris曲线（关联$da/dN$与$\Delta K$）从标准实验室试样外推到实际部件。然而，大量实验证据表明几何效应对FCGR的影响是存在的：即使是不同的标准试样几何形状之间，测得的Paris曲线也可能显著偏离[2]、[3]。这种变异性使传统外推方法不可靠——实际部件中的FCGR可能高于或低于从标准测试中预测的值，可能导致不必要的保守检查间隔，甚至更糟糕的是，导致意外的结构失效。因此，可靠的跨几何FCGR预测变得至关重要。

然而，解决这个问题颇具挑战性。一方面，几何效应本身具有复杂性。即使对于同一对几何形状（C(T)和CC(T)），也有报道相反的趋势[4]、[5]：C(T)中的FCGR可能比CC(T)中的更快或更慢。这种矛盾的观察表明，几何效应涉及强烈的非线性，而非简单的单调偏移。捕捉这种非线性是困难的，因此，现有的分析模型要么是经验性的，要么包含缺乏明确物理基础的拟合参数[4]、[6]。另一方面，实际部件可以设计成任意形状[7]、[8]，而依赖直接几何描述符（例如厚度[9]）的模型在本质上仅限于特定的构型族。当涉及复杂几何形状时，所需输入参数的数量必然增加（例如，半径、曲率）。更关键的是，这种输入表示方式仅捕捉了表面的相关性，而非潜在物理机制，使跨几何泛化不可靠。近年来，机器学习作为一种捕捉非线性的灵活且强大的替代方法应运而生，并已提出几种端到端模型用于跨载荷幅值或试样构型的FCGR预测[10]、[11]、[12]、[13]。然而，这些模型仍然依赖直接描述符（例如，应力比、孔位置、裂纹尖端位置）作为输入；因此，它们继承了输入表示方式的局限性。这呼唤一种更合适的输入表示方式，能够捕捉本质物理而不受特定细节的约束。

除几何表示问题外，机器学习模型本身的架构也引发担忧[14]。尽管端到端数据驱动模型展现出令人瞩目的能力，但其黑箱性质往往限制了可解释性和可信度，尤其是在安全关键应用中。鉴于此，物理引导神经网络（PGNNs）日益受到关注[15]、[16]、[17]、[18]。在典型的PGNN中，通过惩罚网络输出与已知控制方程之间的差异来构建物理损失，从而将先验知识嵌入到学习过程中。引入一个成熟的物理定律可以增强预测可靠性并减少对大型训练数据集的依赖[19]、[20]。然而，对于跨几何疲劳裂纹扩展，并不存在这种被广泛接受的分析表达式[21]。几何效应复杂，无法通过Paris方程的简单扩展来捕捉。因此，构建一个有效整合几何效应的PGNN成为一个非平凡的任务。一个有前景的方向是将符号回归（SR）[22]与PGNN相结合：前者可以从数据中挖掘表达式，然后将其作为物理损失来引导神经网络。尽管此类SR-PGNN框架已在其他领域得到探索（例如，多轴疲劳[23]、[24]），但跨几何FCGR预测提供了一个有价值的测试平台，因为它结合了两个显著特征：典型的少样本场景（通常仅可获得具有简单几何形状试样的FCGR数据[5]、[25]、[26]、[27]、[28]）以及缺乏可靠先验知识。系统地研究这种设置可以阐明自主挖掘和应用知识以实现可靠预测的根本瓶颈，这直接启发了本研究。

在裂纹前缘中点处，此处扩展率最高[29]，通常占主导的是平面应变状态，且FCGR主要受面内几何效应的影响，如图1所示。因此，本研究专注于面内几何依赖性。为了系统地调查这一问题，我们利用相场模拟构建了一个涵盖24种不同面内几何形状的数据集，该数据集已经通过与实验疲劳裂纹扩展数据的对比验证。我们认为，实现跨几何泛化的关键不在于直接描述几何形状，而在于通过表征裂纹尖端条件的断裂力学参数来编码几何形状的影响。具体而言，我们使用归一化应力强度因子范围$\Delta \stackrel{?}{K}$、$T$应力范围$\Delta \stackrel{?}{T}$及其初始值作为主要输入。这些参数捕捉了裂纹尖端处本质力学条件[21]，已知这些条件控制着损伤积累[30]、[31]。通过这种方式，我们旨在构建一个学习潜在物理而非从几何描述符到几何描述符浅层映射的模型。为此，我们提出了一种将双通道SR与PGNN相结合的混合框架。双通道SR结合了可分离性度量来指导搜索，而PGNN则使用所发现的表达式作为物理损失。此外，我们引入了一种基于BIC的知识混合策略，有助于降低模型对所选特定表达式的敏感性。通过系统性的三折交叉验证实验，我们展示了所提出框架的潜力。更重要的是，我们的结果揭示了SR-PGNN模型的一个瓶颈：缺乏事后评估公式泛化能力的方法。

本文其余部分组织如下。第2.1节根据线弹性断裂力学确定输入。第2.2节描述了使用经实验验证的相场模拟结合线弹性有限元分析构建数据集的过程。第2.3节公式发现：双通道符号回归，2.5节带有BIC信息损失混合的物理引导神经网络呈现了所提出的双通道符号回归框架、可分离性度量以及PGNN架构。第3节报告了实验结果，包括与基线方法的详细比较和三折交叉验证分析，以及发现。第4节对论文进行总结，并展望了未来研究方向。

章节摘要

方法学

所提出的混合模型旨在在少样本场景下发现和应用跨几何疲劳裂纹扩展预测的控制方程。为此，我们将SR模块与PGNN进行了整合。SR模块被设计用于挖掘捕捉裂纹尖端断裂力学参数与裂纹扩展率之间潜在关系的表达式。PGNN随后将所发现的表达式作为物理信息损失整合进去，利用其来正则化学习过程

结果与分析

为了系统地考察所提出框架的能力，包含16种简单几何形状和8种复杂几何形状的数据集被分为三组：两组简单几何形状（每组包含8个试样）和一组复杂几何形状（8种几何形状）。然后通过旋转各组进行三折交叉验证，使得每一折使用两组进行训练，剩余一组用于测试。这种设置确保了每一折的

结论与展望

在本工作中，我们提出了一个概念验证混合框架，该框架将双通道符号回归与物理引导神经网络相结合，以探索几何依赖型疲劳裂纹扩展率的公式候选。在相场模拟域内，进行了三折交叉验证以及详细的模型比较，以检验所提出框架的性质和能力边界。基于结果，主要观察可以

CRediT作者贡献声明

Guangxv Chen（陈光旭）：撰写——审阅与编辑，撰写——原稿，可视化，验证，软件，资源，方法论，调查，形式化分析，数据整理，概念化。Zhenduo Zhang（张震多）：验证，软件，调查，数据整理。Xianqiao Wang（王先桥）：撰写——审阅与编辑，可视化，资源。Keke Tang（唐可可）：撰写——审阅与编辑，监督，资源，项目管理，方法论，资金获取。

利益冲突声明

作者声明他们不存在已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能影响到本论文所报告的工作。

致谢

本工作由国家自然科学基金委员会（项目编号：11872278）、上海市自然科学基金（项目编号：25ZR1401355）和中央高校基本科研业务费专项资金资助。

Guangxv Chen|Zhenduo Zhang|Xianqiao Wang|Keke Tang