求解具有尖锐角点椭圆界面问题的最小二乘极限学习机配置法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Least squares extreme learning machine collocation method for solving elliptic interface problems with sharp corners

　　

**摘要**

椭圆界面问题具有不连续系数、非平凡的传输条件以及复杂的几何形状，在众多科学和工程应用中均有出现。此类问题可能涉及弯曲界面、不规则外部边界以及具有锐角的折线界面。尽管锐利界面角通常会引起局部解奇异点，其行为取决于角的大小、界面构型以及系数对比度，但本工作主要关注非光滑界面几何和不连续材料系数的数值处理方法。具体而言，数值算例主要基于分段光滑的制造解，旨在评估在几何复杂域上对控制方程、边界条件和界面传输条件的施加效果。我们提出了一种最小二乘极限学习机（LS-ELM）配点法，用于求解椭圆界面问题。物理域被分解为由界面分隔的子域，并在每个子域中构建独立的单隐层极限学习机。隐层权重和偏置随机生成并固定，仅计算输出层系数。这种分段表示使数值近似能够适应不连续系数和不同子域中截然不同的解行为。控制微分方程、Dirichlet边界条件和界面条件在配点处施加，并组装为全局线性代数方程组。神经网络基函数及其一阶和二阶导数通过链式法则解析计算。引入坐标归一化以确保导数从归一化坐标到物理坐标的一致转换。所得最小二乘公式包含各子域内的PDE残差、外部边界上的边界残差，以及与界面处解和通量传输条件相关的残差。未知输出系数通过正则化线性最小二乘问题求解，从而避免了传统物理信息神经网络所需的迭代非线性优化和重复反向传播。针对多种光滑和非光滑界面几何（包括弯曲界面和具有锐角的折线界面）以及高对比度扩散系数问题进行了数值实验。将所提方法与径向基函数无网格方法、物理信息神经网络、改进的物理信息神经网络以及极限理论功能连接方法进行比较。结果表明，LS-ELM能够提供精确的近似解，同时所需计算时间显著少于基于梯度的神经网络方法。在许多测试用例中，该方法的精度与所考虑的参考方法相当，偶尔甚至更优。此外，还进行了敏感性研究，以考察激活函数、随机初始化范围、配点分布、约束权重和Tikhonov正则化参数的影响。结果表明，激活函数和初始化尺度对近似精度和矩阵条件数有显著影响，而适当加权边界和界面约束可改善物理条件的施加效果。正则化可缓解病态配点矩阵引起的数值困难，但过度正则化可能引入近似偏差并降低精度。重复计算和条件数分析表明所提方法具有良好的总体稳健性。结果表明，LS-ELM是一种高效灵活的无网格方法，适用于具有不连续系数和几何非光滑界面的椭圆界面问题。

**引言**

椭圆界面问题是计算数学与工程交汇处的核心研究方向之一[1]，[2]，[3]，[4]。它们常见于多材料流体流动模拟、电磁界面耦合、生物组织生物力学建模以及半导体器件仿真等关键应用中。此类问题的主要挑战在于：界面处需要满足解场或其导数的指定跳跃不连续条件，同时在不同子域内满足控制方程和边界约束。在传统工业模拟中，多材料结构中的热传导、复合材料中的应力分布以及两相流中的界面演化等都是椭圆界面问题的经典例子。其解的精度直接决定了工程设计的安全性和可靠性。

在早期研究中，数值解通常依赖于体贴结构化网格。然而，当处理具有复杂拓扑结构的界面时，此类方法在网格重建和自适应细化方面需要耗费大量计算工作量。此外，它们往往难以严格施加界面处的指定不连续条件，这可能导致数值解中出现虚假振荡或收敛阶下降。随着高性能计算和算法设计的进步，如何在非结构或笛卡尔网格上高效准确地求解椭圆界面问题，已成为近年来计算数学领域的一个突出研究焦点[5]。界面问题的数值解不仅要确保离散格式的收敛性和稳定性，还要适应不同场景中遇到的各种类型的间断性——包括解的跳跃、通量的不连续以及系数的突变。这对算法的稳健性提出了严格要求。

对于椭圆界面问题的数值求解，浸边界法（IBM）作为最早的界面数值方法之一，由Peskin于2002年首次系统化[6]。最初用于模拟心脏血流与弹性心脏瓣膜的耦合，它在笛卡尔网格上引入奇异源项来表示界面力，从而无需体贴网格即可求解界面问题。在此基础上，LeVeque和Li[7]于1994年提出了浸界面法（IIM），该方法修改界面附近的离散格式以满足不连续条件，首次实现了椭圆界面问题的二阶收敛。通过在界面附近构造修正算子并将不连续系数和奇异源纳入离散格式，IIM摆脱了传统有限差法对连续介质的依赖，为后续高阶界面方法奠定了理论基础。Chen等人[8]进一步将IIM与有限元方法结合，提出了自适应浸界面有限元方法，用于求解椭圆和Maxwell界面问题。通过界面附近的网格自适应细化，该方法提高了对复杂界面的适应性，同时保持收敛阶。Xia等人[9]将IIM扩展到多材料界面场景，提出了多材料浸界面法，通过在界面处构造虚拟节点实现多个子域之间的耦合。该方法成功处理了涉及三种或更多材料的椭圆界面问题，并在三维测试算例中达到了二阶精度。2012年，Babuska和Banerjee[10]提出了稳定广义有限元方法（SGFEM），该方法通过带有惩罚项的变分格式增强了界面附近的稳定性，解决了传统广义有限元方法在界面处遇到的数值振荡问题。通过引入将跳跃条件纳入变分形式的界面惩罚项，该方法在严格满足不连续条件的同时确保解的连续性，在二维和三维椭圆界面测试中均达到了最优收敛阶。2020年，Liu等人[11]提出了界面惩罚有限元方法（IPFEM），为H1、H(curl)和H(div)空间中的界面问题提供了统一框架。通过将界面惩罚项纳入变分格式，该方法实现了最优收敛阶，为多物理场界面耦合问题提供了解决框架。2023年，研究者[12]提出了基于弱 Galerkin（WG）框架的椭圆界面求解方法，克服了传统有限元方法对网格类型的限制。该方法允许在任意多面体网格上使用P?多项式进行离散化，线性和二次WG空间均达到了理论预测的最优收敛速率。

传统数值方法（如有限元方法和有限差法）在处理此类问题时通常依赖界面贴合网格。然而，为复杂几何界面生成高质量网格不仅耗时费力，而且在界面发生大幅变形时还需要频繁重新划分网格，严重限制了计算效率。为克服这一瓶颈，无网格方法和机器学习驱动的数值技术相继成为求解椭圆界面问题的研究热点，为复杂界面问题的高效精确求解提供了新途径。无网格方法通过构建独立于计算网格的形函数来近似解，自然适应复杂几何界面和不连续系数问题。自20世纪90年代以来，它们逐渐成为界面问题数值解的主流方向。无网格方法的早期研究侧重于建立理论框架。Belytschko等人[13]系统回顾了无网格方法的发展，指出它们通过移动最小二乘和径向基函数等近似策略克服了网格依赖，在处理不规则域和界面问题方面具有传统数值方法难以比拟的灵活性。Atluri等人[14]将无网格局部 Petrov-Galerkin（MLPG）方法应用于三维弹性中的材料不连续问题。通过广义移动最小二乘插值构造形函数，无需背景积分网格即可实现界面处解的高保真模拟，验证了无网格方法处理强间断的可行性。此后，专门针对椭圆界面问题的无网格方法研究迅速扩展，核心突破集中在两个方向：捕捉界面处的奇异性以及增强数值稳定性。Taleei和Dehghan[15]针对静电和弹性中的椭圆界面问题提出了直接无网格局部 Petrov-Galerkin（DMLPG）方法。他们开发了无需背景网格的离散方案，通过将界面处的跳跃条件约束直接纳入方程来捕捉解及其法向导数的间断性。数值结果表明，与传统的有限元方法相比，该方法在非均匀跳跃条件下精度提高了十倍以上，且无需网格贴合界面。Dehghan和Abbaszadeh[16]进一步提出了插值稳定移动最小二乘近似方法。为解决传统移动最小二乘在界面附近常见的数值振荡问题，他们引入稳定化项修改形函数构造过程，有效增强了方法的稳健性，并在二维椭圆界面问题上实现了与有限元方法相当的收敛速率。基于径向基函数（RBF）的无网格方法以其固有的无穷光滑性和谱收敛潜力，成为椭圆界面问题无网格求解的重要分支。Ahmad等人[17]分别基于多二次RBF、积分多二次RBF和高斯三次RBF混合，开发了三种用于具有锐角的二维椭圆界面问题的局部无网格方案。他们的方法涉及在界面附近设计专用计算模板，将界面条件直接嵌入离散方程，避免了传统方法中界面与网格不对齐时的精度损失。数值实验表明，该方法在处理具有锐角的界面时，L∞误差仅为传统有限差法的十分之一，同时在计算效率上也优于全局RBF方法，为具有复杂几何界面的问题提供了高效解决方案。Fasshauer[18]的专著系统阐述了基于RBF的无网格近似的理论基础，从函数近似角度证明了RBF对界面问题的最优收敛性，为后续基于RBF的无网格方法的发展提供了关键理论支持。

深度学习现已广泛应用于科学计算领域。凭借出色的函数拟合和泛化能力，机器学习为椭圆界面方程的数值解带来了重大创新。特别是，同时优化神经网络参数和反向传播算法可以进一步提高计算精度[19]，[20]。与传统无网格方法不同，机器学习方法无需手动设计基函数和离散格式。通过融合数据驱动学习与物理定律约束，这些方法可以高效求解界面问题，尤其适用于界面几何可变且需要快速计算的工程场景。

利用机器学习求解PDE的早期研究为椭圆界面问题奠定了基础。Raissi等人[21]提出了物理信息神经网络（PINNs），将PDE残差、边界条件和初始条件纳入统一损失函数，实现了无需标签数据的PDE求解，为椭圆界面问题的无监督求解提供了核心框架。E和Yu[22]提出了深度 Ritz 方法，该方法基于变分原理构造损失函数，并通过深度学习近似变分问题的极小值。该方法首次将深度学习应用于椭圆方程变分形式的求解，为界面问题变分格式的离散化提供了新视角。鉴于椭圆界面问题解的低正则性特征，研究者开发了一系列专门的机器学习方法。

He 等人 [23] 提出了一种基于分区深度神经网络的无网格方法。该方法根据界面将计算域划分为多个子域，使用独立的深度神经网络近似每个子域中的解，并通过最小二乘公式施加界面与边界条件。他们还设计了一种基于损失函数残差的自适应采样策略，以捕捉界面附近的奇异性。Wu 和 Lu [24] 提出了界面神经网络（INN），采用多分支网络与主干网络协同架构，分别从子域中提取输入特征并输出解。他们设计了针对界面问题的物理信息损失函数，在无需域内成对标注数据的情况下实现了高精度解。

极限学习机（ELM）方法凭借训练速度快、泛化能力强等优势，已成为基于机器学习求解椭圆界面问题的重要方向。Liang 等人 [25] 提出分区极限学习机（PELM）以处理界面处的解不连续性。他们在界面两侧分别构建独立的 ELM 模型，固定输入层到隐藏层的权重和偏置，仅优化输出层参数，从而显著缩短训练时间。Dwivedi 和 Srinivasan [26] 提出物理信息极限学习机（PIELM），将物理约束整合到 ELM 损失函数中以实现快速 PDE 求解。曾少杰等人 [27] 开发分段极限学习机（ELM），以提高空间离散精度并缩短训练时间。机器学习中的域分解与算子学习方法进一步提升了求解椭圆界面问题的效率与泛化能力。Lu 等人 [28] 提出 Multi-TransNet 方法，利用两层神经网络构建可迁移的域分解框架。通过平移和缩放隐藏层神经元以适应不同子域，并通过最小二乘优化输出层参数，该方法避免了传统深度学习中常见的梯度消失问题。Wu 等人 [29] 针对参数化椭圆界面问题提出界面算子网络（IONet）。该网络以系数、源项和边界条件作为输入算子，通过多分支网络提取子域输入特征，经主干网络输出子域解。所设计的物理信息损失函数针对界面问题定制，其参数化问题泛化能力远超传统深算子网络。此外，Sarma 等人 [30] 提出界面 PINNs（I-PINNs），通过在界面引入额外损失项增强物理约束，进一步提升界面附近的解精度，实现三维椭圆界面问题中解与通量的精确匹配。

Calabrò 等人 [31] 提出 ELM 配点法求解椭圆 PDE，并验证其在避免数值振荡方面的优势。随后引入函数连接理论（TFC）以更精确地满足初始与边界条件。De Florio 等人 [32] 比较了经典 PINN、Deep-TFC、PIELM 与 X-TFC，发现 ELM 与 TFC 结合的方法在处理二阶常微分方程时误差最小。Schiassi 等人 [33] 构建极值函数连接理论（X-TFC），通过构造包含自由函数与支持函数的表达式，在解析层面消除边界条件的学习负担，从而显著降低优化难度。针对更复杂的边界层问题，Dwivedi 等人 [34] 提出门控 X-TFC，利用可微逻辑门实现软域分解，避免引入硬界面惩罚项。此外，De Falco 等人（2026）探索带等式约束的最小二乘 ELM，进一步丰富了约束处理的数学工具箱。在处理时间依赖演化问题时，时间离散策略至关重要。Calabrò 等人 [35] 研究抛物 PDE 的时间离散，比较了 θ 方法与共轭反方向差公式（BDF），观察到 ELM 结合 BDF 方法在精度与稳定性上均优于后向 Euler 方法。Fabiani 等人 [36] 验证 ELM 在非线性稳态 PDE 及分岔分析中的适用性，表明其在中小网格上的精度超过有限差分（FD）与有限元（FEM）方法。与纯粹经验性深度学习应用不同，该研究系列重视理论证明。De Falco 等人 [37] 首次推导 X-TFC 框架内泛化误差上界，填补理论空白。De Falco 等人 [38] 分析 ELM 在不同增量场景下的收敛行为，指出当神经元数量与数据量同时增加时，观测收敛率为谱型，优于理论上估计的 1/N 速率。Auricchio 等人 [39] 确认单隐层 ANN 可有效克服插值中的 Runge 现象，即使在非最优采样点仍保持高精度。

基于极限学习机在椭圆界面问题上的优势，本研究的主要贡献总结如下：

1. 我们开发了一种针对二维椭圆界面问题的最小二乘极限学习机（LS-ELM）配点框架，结合强物理约束，用于处理不连续扩散系数、非平凡透射条件及几何复杂界面。所考虑几何形状包括光滑曲率界面和不光滑多边形锐角界面。该方法无需拟合计算网格即可处理不连续材料参数与界面通量跳跃。

2. 我们在界面分区子域中构建独立的随机特征神经网络近似。隐藏层参数随机生成并固定，仅确定输出层系数。该分段表示允许不同材料中具有不同的解行为，并避免在界面强加不必要的全局光滑性。网络基函数所需的一阶和二阶导数解析计算，使得控制 PDE、边界条件与界面透射条件可直接在配点处施加。

3. 我们将所有物理约束表述为全局线性最小二乘系统。具体而言，配点矩阵包含各子域 PDE 残差、外部边界条件残差以及解与通量界面条件残差。引入 Tikhonov 正则化机制以改善可能病态的最小二乘系统数值处理。该表述避免了常规物理信息神经网络常见的迭代非线性优化、反向传播和自动微分开销。

4. 我们在若干涉及曲率界面、锐角界面几何、不规则域和高对比度不连续系数的基准界面问题上进行数值实验。实验主要基于分段光滑的制造解，验证所提方法在几何不光滑界面施加 PDE、边界与透射条件的能力。与无网格径向基函数方法、PINN 类方法及相关神经方法的比较表明，LS-ELM 能以显著降低的计算成本实现竞争性精度。

5. 我们系统研究激活函数、随机初始化范围、配点分布、约束权重与正则化参数的影响。这些研究为平衡近似精度、物理约束施加与矩阵条件提供实用指导。独立子域基构造也为并行实现及自适应配点、时间相关界面问题和中等维数参数问题的未来扩展奠定了天然基础。

本文其余部分组织如下。第 2 节简要回顾椭圆界面问题及涉及尖点的界面构型。第 3 节提出最小二乘极限学习机（LS-ELM）方法求解界面问题及其计算流程。第 4 节进行数值实验，展示所提方法的效率与精度。第 5 节得出结论。

章节片段

问题表述

本节呈现参考文献中的二维稳态椭圆界面问题表述，包括控制方程、边界/界面条件及关键假设。

两个独立极限学习机近似

为处理界面 Γ 上的解不连续性，我们采用两个独立的单隐层前馈神经网络，分别专门用于近似其对应子域内的解。该架构允许近似捕捉固有的跳跃条件，同时为每个区域保持独立参数集。设 Nh,k 表示子域 Ωk（k=1,2）隐藏层中的神经元数。各子域解表示为 uk

示例 1

我们考虑椭圆界面问题 (1) 中的 Deltoid、Astroid 和 Hypocycloid 区域。此类具有几何奇点的界面给数值方法带来显著挑战，特别是在捕捉角点附近的解梯度及精确施加界面条件方面。问题参数选定旨在测试所提 LS-ELM 方法在系数对比大、界面几何复杂问题上的鲁棒性。

扩散

结论

本研究提出了一种最小二乘极限学习机（LS-ELM）框架，用于求解具有不连续系数与复杂界面几何的椭圆界面问题。主要目的是提供无网格且计算高效的替代方案，以替代传统基于网格的界面方法和基于梯度的物理信息神经网络方法。目标问题类包括扩散系数为……的多区域椭圆方程。

基金

浙江省教育厅科研基金项目资助（Y202559751）。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

Jilong He