基于矢量-标量势公式的高效CFS-PML技术构建及其在量子电磁多物理场仿真中的应用

《Computer Physics Communications》：Construction of an Efficient CFS-PML Technique Based on the Vector-Scalar Potential Formulation and Its Application in Quantum-Electromagnetic Multiphysics Simulations

　　

**摘要** 为克服现有完美匹配层（PML）技术在矢量-标量势（A–φ）表述下的局限性，尤其是在实现复杂度和吸收性能方面，本文将复频移（CFS）拉伸函数引入A–φ方程，从而开发出一种高效的CFS-PML技术。首先，将控制方程——包括频域A–φ方程及相关辅助变量的代数表达式——统一构建为矩阵形式。随后，通过傅里叶变换将所得矩阵方程转换到时域，并以统一方式进行离散化。所提出的CFS-PML技术在保持数值可实现性的同时，实现了简洁而直接构建与实施流程。此外，通过将配备CFS-PML终止的A–φ表述与时依赖薛定谔方程耦合，建立了适用于开放区域问题的半经典量子-电磁（QM-EM）耦合模型以及基于FDTD的仿真框架。数值结果验证了所提出的CFS-PML具有优异的吸收性能，而所开发的多物理场耦合框架能够稳定且精确地再现外施电磁场下电子量子态的操控过程。

**引言** 计算电磁学（CEM）已成为连接电磁（EM）理论与数值计算的基础研究领域，为电磁散射与传播现象的建模和仿真提供了不可或缺的工具[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]]。受超快光学、纳米光子学及微/纳器件技术的快速发展推动，复杂介质和纳米结构中电磁过程的精确表征在CEM领域引起了日益增长的关注[[9], [10], [11], [12], [13]]。当电子器件的特征尺寸进一步缩减至纳米量级时，量子效应——包括量子隧穿[14]、量子相干[15]以及原子和分子电子跃迁——变得不可忽略[16]。这一趋势对仅依赖经典电磁理论的传统仿真框架提出了新的理论与计算挑战。

为表征量子效应对纳米结构电磁响应的影响，有必要开发半经典量子-电磁（QM-EM）多物理场耦合模型，将量子力学与经典电磁理论相融合。代表性方法包括薛定谔-泊松系统[17]、麦克斯韦-Bloch方程[18,19]以及麦克斯韦-薛定谔（MS）方程[[20], [21], [22]]。这些模型旨在捕获量子态演化与电磁场动力学之间的耦合机制。特别是，MS方程在描述光-物质相互作用的时空演化方面受到广泛关注。Pierantoni等人基于MS模型研究了电磁场与碳纳米结构的相互作用[23,24]。Ahmed等人采用混合时域数值格式求解MS方程，并对纳电子器件中的量子效应进行了数值研究[25]。Sui等人利用MS耦合模型分析了纳米电路系统中量子单元与宏观电磁系统之间的相互作用机制[26]。此外，文献[27]还基于MS方程提出了用于量子态操控的控制脉冲源模型。

在早期QM-EM多物理场建模和数值仿真中，电磁系统通常通过直接求解麦克斯韦方程（E和H）来描述电磁波的宏观特性。尽管E–H表述便于数值实现，但磁矢势A和电标势φ是直接决定量子系统中电磁场与微观粒子动力学相互作用的基本物理量，从而为经典电磁与量子力学描述之间提供了天然的桥梁。此外，与E–H表述相比，A–φ形式的势方程能有效缓解低频崩溃问题[28,29]。凭借这些优势，A–φ表述已被广泛应用于半经典QM-EM耦合建模与仿真中。相应地，A–φ方程的高效数值求解器已得到广泛研究。代表性方法包括离散外微积分（DEC）方法[30]、辛混合谱元时域方法[31]、基于有限差分时间域（FDTD）的求解器，以及各种高阶和高稳定性的改进FDTD格式[[32], [33], [34], [35], [36], [37], [38]]。在上述数值方法中，FDTD方法因其易于实现和直观物理诠释而成为求解电磁问题的主流技术之一[[39], [40], [41], [42], [43]]。然而，对于开放区域电磁问题的数值仿真，必须在FDTD计算域中引入有效的吸收边界条件（ABC），以抑制人工反射并实现对出射波的高效吸收。近年来，完美匹配层（PML）技术受到广泛关注，因为它能在宽频段和宽入射角范围内高效吸收电磁波[[44], [45], [46], [47]]。在此基础上，复频移PML（CFS-PML）进一步引入复频域坐标拉伸算子，使传播波和倏逝波均能得到更有效的衰减[[48], [49], [50], [51], [52], [53]]。

在现有文献中，E–H框架下的CFS-PML技术已被系统且深入地研究。各种实施策略被开发出来，将频域坐标拉伸函数融入FDTD仿真框架，包括辅助微分方程（ADE）法、Z变换法、分段卷积法和递归卷积法等[[54], [55], [56], [57]]。大量研究已证明CFS-PML具有稳健性和高吸收性能。然而，与E–H表述不同，A–φ势方程在时间和空间域上对场分量施加二阶偏微分算子。特别是，在广义洛伦兹规范下推导出的A–φ方程数学形式更为复杂，使其数值实现具有相当大的挑战性。尽管早期研究已提出A–φ方程的PML构建方法[58,59]，但所采用的坐标拉伸函数较为简单，导致整体吸收性能有限。同时，相应的实施流程也相当繁琐。此外，由于CFS-PML中使用的坐标拉伸函数比文献[58]中的更为复杂，若将文献[58]中的方法直接推广到A–φ表述以构建CFS-PML，将进一步增加推导和实施复杂度。

基于上述考虑，本文首先将控制方程——包括频域A–φ方程及相关辅助变量的代数表达式——统一构建为矩阵形式。随后，通过傅里叶变换将矩阵方程从频域转换到时域，并据此推导统一的数值离散化和迭代更新方案。因此，所提出的CFS-PML技术在保持数值可实现性的同时，获得了更为简洁、透明且便于实施的表述。与文献[58]中报道的基于A–φ的PML构建方法相比，本文方法在推导和实施复杂度方面均具有明显优势。此外，配备所提出CFS-PML的A–φ方程进一步与时依赖修正薛定谔方程耦合，建立了适用于开放区域仿真的半经典QM-EM多物理场耦合模型。数值结果表明，所提出的基于A–φ的CFS-PML技术对电磁波具有优异的吸收性能。此外，所开发的半经典耦合模型和仿真方案能够高精度地模拟外施电磁场下电子量子态的操控过程，从而验证了所提方法及其多物理场耦合框架的正确性和有效性。

本文其余部分组织如下：第二节阐述所提出的基于A–φ的CFS-PML表述的理论推导与数值实现。第三节提供代表性数值算例，验证所提出的CFS-PML技术及通过将A–φ表述与时依赖薛定谔方程耦合所得半经典量子-电磁耦合模型的正确性与有效性。最后在第四节得出结论。

**方法** 从非均匀各向同性介质中的麦克斯韦方程出发，并施加广义洛伦兹规范条件，在拉伸坐标表述下可得到频域中解耦的电磁势方程如下：

?_s × μ?1(r) ?_s × A ? ε(r) ?_s [μ?1(r) ε?2(r) ?_s · ε(r) A] + ε(r)(jω)2 A = J

?_s · ε(r) ?_s φ ? μ(r) ε2(r)(jω)2 φ = ?ρ

其中A为磁矢势，φ为电标势，J和ρ分别表示电流密度和电荷密度。

**数值算例与结果** 为评估所提出的基于A–φ的CFS-PML技术的电磁波吸收性能，对由自由空间和非均匀介质组成的电磁模型进行了数值仿真。此外，将配备CFS-PML边界条件的A–φ方程与时依赖薛定谔方程耦合，在开放域仿真环境中求解半经典量子-电磁多物理场问题。对于公式(4)中定义的拉伸因子，

**总结** 在广义洛伦兹规范条件导出的A–φ表述框架下，通过引入CFS拉伸因子开发并数值实现了一种适用于开放区域电磁问题的CFS-PML技术，实现了对出射电磁波的高效吸收。对于非均匀介质，A–φ方程涉及时间和空间域的二阶偏微分算子及多个场分量。若逐一对每个场分量推导数值更新方程将会

**数据可用性** 数据已在GitHub上公开。URL为：https://github.com/liclig/A-Phi-equation.git 欢迎读者通过电子邮件联系我们以提出问题或索取额外资料。

**CRediT作者贡献声明**

谢国达：方法论、概念设计。胡王超：软件、调查。侯桂林：论文撰写——审阅与编辑、可视化、数据整理。任新钢：可视化、数据整理。魏E.I.沙：论文撰写——审阅与编辑、验证。黄志祥：论文撰写——审阅与编辑、验证。

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